Weierstrass Karl

En 1854, Karl Weierstrass sort d'un long travail mené loin des milieux universitaires. La présentation de ses travaux sur les fonctions abéliennes et elliptiques, réunis dans Zur Theorie der Abelschen Functionen, marque sa reconnaissance scientifique. Leur publication est à distinguer de ce jalon ; il obtient par la suite une chaire à Berlin.

Sa trace tient surtout à une exigence : donner à l'analyse des définitions précises. Limites, continuité, séries et convergence uniforme cessent ainsi de reposer sur la seule intuition. La frise biographique rend visible le passage du chercheur indépendant au « législateur de l'analyse », selon le mot d'Hermite.

Karl Theodor Weierstrass (1815-1897) est un mathématicien allemand dont l'œuvre a rendu l'analyse mathématique plus rigoureuse. Instituteur de profession, il poursuit longtemps ses recherches indépendamment des milieux universitaires. En 1854, la présentation de ses travaux sur les fonctions abéliennes et elliptiques, réunis dans Zur Theorie der Abelschen Functionen, marque sa reconnaissance par la communauté mathématique. Leur publication est à distinguer de ce jalon ; Weierstrass obtient par la suite une chaire à l'université de Berlin.

Weierstrass contribue à formaliser et à systématiser les notions de limite d'une suite et de continuité d'une fonction. Son œuvre joue aussi un rôle structurant dans l'étude des développements en série, des fonctions analytiques et de la convergence uniforme. Une construction historique des nombres irrationnels associée à ses travaux s'appuie sur des développements décimaux illimités qui ne deviennent périodiques à partir d'aucun rang, en tenant compte des doubles écritures comme 0,999… = 1, sans faire appel à la notion de limite. Ces travaux précisent ceux de Cauchy et d'Abel, puis ouvrent la voie à Dedekind, Méray et Cantor.

En 1872, il présente une fonction définie par une série convergente qui est continue en tout point et dérivable en aucun point. Cet objet sépare nettement deux propriétés que l'intuition pouvait rapprocher. L'importance de cette exigence de précision explique le surnom de « législateur de l'analyse » donné par Hermite et l'association de son nom à de nombreux théorèmes fondamentaux.

Prenons l'exemple qui frappe la communauté mathématique en 1872. Avant de lire la correction, classez ces trois observations à propos de la fonction de Weierstrass : la série qui la définit converge ; la fonction ne présente aucune rupture, quel que soit le point considéré ; aucune pente locale ne peut lui être associée en un point. Rattachez chacune à la convergence de la série, à la continuité ou à la dérivabilité, puis vérifiez votre classement dans les étapes suivantes.

1. On repère d'abord l'objet : la série convergente définit la fonction étudiée. Cette donnée décrit le point de départ du parcours, sans confondre la convergence de la série avec les propriétés de la fonction obtenue.

2. On examine sa continuité : lorsque la variable se déplace, la fonction ne présente aucune rupture. Le résultat vaut en chaque point : elle est continue partout.

3. On examine ensuite sa dérivabilité, c'est-à-dire la possibilité d'associer une pente locale à la fonction en un point. Aucun point ne possède cette seconde propriété : la fonction n'est dérivable nulle part.

Le contrôle consiste à comparer les deux verdicts sur le même domaine : « continue en tout point » ne devient jamais « dérivable en un point ». L'exemple ne montre donc pas une exception isolée, mais une séparation totale entre continuité et dérivabilité. C'est précisément ce résultat, contre-intuitif à l'époque, qui illustre la rigueur recherchée par Weierstrass.

Pour situer Weierstrass dans l'histoire de l'analyse, on suit le passage de recherches indépendantes à la présentation et à la reconnaissance de ses travaux en 1854, sans confondre ce jalon avec leur publication. Ce repère évite de réduire sa carrière à sa seule chaire berlinoise.

Pour lire un énoncé sur les fonctions, on distingue les propriétés au lieu de se fier au dessin suggéré par l'intuition. La fonction présentée en 1872 impose le bon réflexe : continuité et dérivabilité doivent être examinées séparément.

Pour comprendre l'héritage de Weierstrass, on relie ses définitions de la limite et de la continuité à ses travaux sur les séries, les fonctions analytiques et la convergence uniforme. Cette lecture montre une œuvre cohérente de rigorisation de l'analyse.

Karl Weierstrass et la fonction de Weierstrass. Le premier est le mathématicien et désigne l'ensemble de son œuvre. La seconde est l'exemple présenté en 1872 : une fonction donnée par une série convergente, continue partout et dérivable nulle part.

Continuité et dérivabilité. Une fonction continue en tout point n'est pas nécessairement dérivable. Le cas de Weierstrass tranche sans ambiguïté : la continuité vaut partout, tandis que la dérivabilité ne vaut en aucun point.

Réduire son œuvre à 1872. La fonction continue et nulle part dérivable est spectaculaire, mais elle ne résume pas Weierstrass. Il faut aussi considérer ses définitions de la limite et de la continuité, ainsi que ses travaux sur les séries, les fonctions analytiques et la convergence uniforme.

Confondre convergence de la série et dérivabilité de la fonction. Dans l'exemple de 1872, la série converge et la fonction obtenue est continue. Pourtant, cette fonction n'est dérivable en aucun point. La première propriété ne suffit donc pas à conclure à la dernière.

Attribuer tous les apports à l'année 1854. Cette date marque la présentation et la reconnaissance de ses travaux sur les fonctions abéliennes et elliptiques ; leur publication et l'obtention ultérieure de la chaire berlinoise doivent en être distinguées. La fonction continue sans point de dérivabilité est, elle, associée à 1872.

La fonction de Weierstrass approfondit l'exemple continu en tout point et dérivable en aucun point.

La convergence uniforme précise l'un des concepts structurants associés à l'œuvre de Weierstrass.

La fonction analytique prolonge la lecture vers une autre notion centrale mentionnée dans ses travaux.

Les irrationnels éclairent une construction historique associée aux travaux de Weierstrass, fondée sur des développements décimaux illimités qui ne deviennent périodiques à partir d'aucun rang.

L'article De l'intuition à la rigueur : replace son exigence de précision dans une perspective historique plus large.