Cellérier Charles

Imaginez une courbe que l'on peut tracer sans lever le crayon : elle ne présente aucun saut. Pourtant, aussi près que l'on zoome sur cette courbe, aucune dérivée finie — autrement dit aucune tangente au sens usuel avec une pente finie — ne se stabilise. Elle est donc continue, mais impossible à dériver en chacun de ses points. Charles Cellérier a construit un tel exemple.

Cette construction déjoue l'intuition classique selon laquelle une courbe sans rupture devrait toujours avoir une direction locale. Elle appartient aux fonctions dites pathologiques, qui ont contribué à transformer la manière de comprendre l'analyse au XIXe siècle.

Charles Cellérier est associé à un exemple de fonction réelle définie sur ℝ, continue sur ℝ et dérivable en aucun point de ℝ. Dire qu'une fonction est continue signifie que sa valeur ne subit pas de saut lorsque la variable se déplace légèrement. Dire qu'elle est dérivable en un point signifie qu'une variation locale permet d'y définir une pente, celle de la tangente. Ici, la première propriété est vraie en tout point de ℝ, tandis que la seconde échoue en tout point de ℝ.

La construction de Cellérier relève de l'analyse mathématique et porte sur le comportement local d'une fonction. Elle ne désigne pas une courbe particulière tracée à une échelle donnée : la continuité et l'absence de dérivée doivent être vérifiées sur tout le domaine considéré. L'expression « nulle part dérivable » ne signifie donc pas « difficile à dériver en quelques points », mais « non dérivable en chaque point ».

Né et mort à Genève, Cellérier consacra l'essentiel de sa carrière à l'enseignement et à la recherche dans diverses branches des mathématiques. Il aurait construit cet exemple indépendamment de Karl Weierstrass, probablement avant lui. Le résultat est resté dans ses papiers inédits jusqu'à sa mort, puis a été publié en 1890 par Charles-Ange Laisant.

Le cas historique de Cellérier fournit une grille de lecture, sans lui attribuer une formule que la source ne fournit pas. Les éléments à relever sont les suivants : il s'agit d'une fonction ; sa continuité est conservée ; sa dérivée n'existe en aucun point ; la construction est associée à Cellérier et à l'analyse du XIXe siècle.

Pour lire l'énoncé, commencez par relever le domaine considéré et le sens de « partout ».
Demandez ensuite quelle propriété concerne les sauts : la continuité est annoncée sur ce domaine.
Demandez quelle propriété concerne la pente locale : la dérivée est annoncée comme inexistante en chaque point du même domaine.
Cette lecture sépare les deux propriétés sans les confondre et restitue le résultat annoncé : une fonction continue partout sur son domaine, mais nulle part dérivable.

Cette grille ne remplace pas un calcul historique : la source ne fournit pas la formule de la construction de Cellérier. Pour vous exercer sur un cas distinct et non historique, prenez la fonction valeur absolue. En 0, sa valeur rejoint celle de la fonction quand x se rapproche de 0 : elle est donc continue. En revanche, le quotient de variation vaut 1 à droite de 0 et -1 à gauche ; les deux pentes ne coïncident pas, si bien qu'elle n'est pas dérivable en 0. Vous pouvez ensuite reprendre la même vérification sur un autre point. Ce micro-exemple rend opératoire la distinction sans attribuer de formule à Cellérier ; son cas historique reste celui d'une fonction continue partout sur son domaine, mais nulle part dérivable.

En histoire de l'analyse, cette construction sert à comprendre pourquoi l'intuition « sans rupture, donc avec une tangente » est insuffisante. Pour lire un exemple, demandez si une pente locale existe en chaque point ; une courbe régulière répond oui, tandis que le cas de Cellérier répond non.

Pour lire un texte sur Cellérier, relevez séparément les deux propriétés : la continuité est-elle annoncée partout sur le domaine, et la dérivée échoue-t-elle en chaque point ? Ne remplacez pas ces questions par l'apparence de courbe continue d'un dessin.

Pour situer son apport, séparez la construction mathématique de sa publication. Les dates servent de repères : les papiers sont restés inédits jusqu'à sa mort, puis le résultat a paru en 1890.

Une fonction continue mais non dérivable en quelques points n'est pas une fonction nulle part dérivable. Le critère est le nombre de points concernés : un seul point où une pente existe suffit à écarter la propriété « nulle part dérivable ».

Une fonction dérivable partout n'est pas l'exemple associé à Cellérier, même si elle est aussi continue. Le cas qui tranche est un point où la dérivée existe : cette observation exclut immédiatement l'exemple de Cellérier.

Le mot « partout » porte sur le domaine entier considéré. Une fonction peut être continue et nulle part dérivable sur ce domaine, sans que l'on puisse étendre cette conclusion à un domaine différent. Il faut donc préciser le domaine avant de généraliser.

Un dessin ne permet pas de trancher le cas. À une résolution finie, une courbe peut sembler présenter des tangentes ou des irrégularités. Le symptôme est une conclusion tirée de l'apparence seule ; il faut revenir aux vérifications mathématiques de continuité et de dérivabilité.

Il ne faut pas transformer la chronologie en certitude d'antériorité. La source indique que Cellérier a travaillé indépendamment de Weierstrass et probablement avant lui ; elle établit la publication posthume en 1890, mais ne donne pas une date plus fine pour la construction.

Pour revoir la première propriété mobilisée ici, consultez Fonction continue. Vous y gagnerez un repère précis pour distinguer l'absence de saut, qui relève de la continuité, de l'existence d'une pente, qui relève de la dérivabilité.