fonction de van der Waerden

Imaginez une ligne brisée en dents de scie, puis ajoutez-en des copies dix fois plus serrées et dix fois moins hautes. À chaque nouvelle échelle, de minuscules pointes apparaissent. Leur hauteur totale devient assez petite pour que la courbe reste continue : on peut la tracer sans saut. Pourtant, les changements de pente ne se stabilisent à aucune échelle. La courbe ne possède donc de tangente en aucun point. La fonction de Van der Waerden rend visible cette séparation surprenante entre continuité et dérivabilité.

Pour tout nombre réel x, la fonction dent de scie T donne la distance de x à l’entier le plus proche. En notant ⌊x⌋ la partie entière de x, elle s’écrit :

Cette fonction est de période 1 : sa valeur dépend seulement de la position de x entre deux entiers consécutifs. Pour chaque entier naturel n, le terme de rang n comprime horizontalement la dent de scie par un facteur 10ⁿ et réduit sa hauteur par le même facteur. La fonction de Van der Waerden est la somme de tous ces termes : $f(x)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{T({10}^{n}x)}{{10}^n}f(x)=\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{T(10^n\; x)\}\{10^n\}$. La série converge uniformément, ce qui assure la continuité de f sur ℝ. En revanche, les pentes apportées par les différentes échelles ne convergent vers aucune pente finie : f n’est dérivable en aucun réel. Cette construction porte le nom de Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996).

La construction réunit cinq éléments. Le réel x fixe le point observé. La dent de scie T mesure sa distance à l’entier le plus proche. Le facteur 10ⁿ multiplie la fréquence : quand n augmente de 1, dix fois plus de dents occupent le même intervalle. Le diviseur 10ⁿ réduit simultanément leur hauteur. Enfin, la somme infinie superpose toutes les échelles. La réduction des hauteurs rend la série uniformément convergente, tandis que la multiplication des fréquences renouvelle sans cesse les changements de pente.

Les trois premières sommes partielles montrent ce mécanisme près de x = 0,23. La première est une droite sur l’intervalle choisi, la deuxième en accentue la pente, et la troisième ajoute cinq petites dents exactes. Ces éléments suffisent à calculer des approximations successives de f et à voir pourquoi une courbe continue peut ne jamais acquérir de pente stable.

Calculons la valeur au réel x = 0,23.
Données : x = 0,23 ; la période de T vaut 1 ; T mesure la distance à l’entier le plus proche ; chaque terme de rang n est divisé par 10ⁿ.
1. Au rang 0, 0,23 est à 0,23 de l’entier 0. La contribution vaut donc T(0,23) = 0,23.
2. Au rang 1, 10 × 0,23 = 2,3. La distance de 2,3 à l’entier 2 vaut 0,3, donc la contribution est 0,3 ÷ 10 = 0,03.
3. À partir du rang 2, 10ⁿ × 0,23 est un entier. Chaque contribution suivante vaut donc 0.
4. La somme est exacte : f(0,23) = 0,23 + 0,03 = 0,26.
Contrôle : les deux contributions non nulles sont positives et leur somme 0,26 reprend exactement les valeurs annoncées.

Pour réfuter l’idée qu’une fonction continue possède forcément une tangente quelque part, cette fonction fournit un contre-exemple global : elle est continue sur ℝ et n’est dérivable en aucun point. Si l’on veut seulement montrer un angle isolé, une unique dent de scie suffit ; la série devient utile quand l’absence de dérivée doit concerner tous les réels.

Pour explorer numériquement la courbe, on additionne un nombre croissant de termes. Le critère observable est la taille des nouvelles dents : elles deviennent plus basses, mais leurs changements de pente restent présents. Une somme partielle donne une approximation calculable ; elle ne doit pas être prise pour la fonction infinie.

Pour étudier le rôle de l’échelle, on compare deux sommes partielles successives au même endroit. Si la question porte plutôt sur un autre exemple classique de fonction continue nulle part dérivable, la fonction de Weierstrass offre une construction distincte.

Continuité et dérivabilité. La continuité exclut les sauts, tandis que la dérivabilité exige qu’un taux d’accroissement tende vers une pente finie. La fonction de Van der Waerden tranche nettement : elle vérifie la première propriété en chaque réel et échoue à la seconde en chaque réel.

Fonction de Van der Waerden et fonction de Weierstrass. Toutes deux servent de fonctions continues nulle part dérivables, mais leurs formules ne sont pas interchangeables. La présence de la distance à l’entier le plus proche et des échelles décimales caractérise ici la construction de Van der Waerden.

Une somme partielle reste trompeusement régulière. Avec un nombre fini de termes, on obtient une ligne brisée qui possède une pente entre ses sommets. Le symptôme est un tracé qui paraît lisse lorsqu’il est peu agrandi. Il faut augmenter le nombre de termes et examiner plusieurs échelles avant de conclure sur la fonction infinie.

La convergence uniforme ne donne pas la dérivabilité. Elle garantit ici la continuité de la somme, mais elle n’autorise pas à dériver la série terme à terme. Les changements de pente ne se stabilisent pas ; il faut donc étudier les taux d’accroissement plutôt que sommer formellement des dérivées.

Les pentes partielles ne tendent pas nécessairement vers +∞ ou −∞. Selon le réel choisi, elles peuvent aussi osciller. Le diagnostic exact est l’absence de limite finie commune pour les taux d’accroissement, ce qui suffit à exclure toute dérivée.

Un développement décimal fini ne simplifie qu’une valeur. Pour x = 0,23, tous les termes de rang 2 ou plus sont nuls au point lui-même. Cela ne crée pas de voisinage où la série s’arrête : autour de 0,23, les termes suivants réapparaissent et empêchent encore l’existence d’une tangente.

La convergence uniforme précise pourquoi une limite de sommes partielles continues reste continue dans cette construction.

La fonction de Weierstrass présente une autre construction classique séparant continuité et dérivabilité.