AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction de classe C1
Une fonction f définie sur un intervalle I est dite de classe C1 sur I si elle satisfait deux conditions simultanées : d'une part, f est dérivable en tout point de I, en considérant les dérivées unilatérales aux éventuelles extrémités incluses, et d'autre part, sa dérivée f' est continue sur I. Cette propriété est plus forte que la simple dérivabilité : une fonction peut être dérivable sans que sa dérivée soit continue. La classe C1 constitue le premier échelon d'une hiérarchie de régularité croissante (C0, C1, C2, …, C∞), chaque niveau imposant des conditions supplémentaires sur les dérivées successives.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux conditions qui définissent une fonction de classe C1.
- Vérifier sur la fonction carrée que la dérivée existe et reste continue.
- Distinguer continuité, dérivabilité, classe C1 et classe C2.
- Repérer les raccords et les dérivées discontinues qui empêchent la propriété.
En clair
Imaginez une courbe tracée sans angle brusque. Sa pente peut changer d'un point à l'autre, mais elle le fait sans saut. Une fonction de classe C1 possède précisément cette double qualité : une pente existe partout et cette pente varie continûment.
La courbe de la fonction carrée en donne une image familière. En avançant le long de la parabole, la tangente tourne progressivement. Être seulement dérivable ne garantit pas cette évolution régulière de la pente.
Définition
Soit un intervalle I de nombres réels et une fonction f définie sur I. On dit que f est de classe C1 sur I lorsque f est dérivable en chaque point de I et que la fonction dérivée f′ est continue sur I. Aux éventuelles extrémités incluses, la dérivée est entendue au sens unilatéral. Ces deux conditions sont nécessaires.
La notation résume cette propriété : . La continuité de f découle déjà de sa dérivabilité, mais elle ne suffit pas à assurer la continuité de f′.
La classe C1 appartient à une hiérarchie de régularité. La classe C0 exprime la continuité. La classe C2 exige deux dérivées successives continues, et la classe C∞ exige des dérivées continues de tout ordre. Ainsi, C1 est une condition plus forte que la dérivabilité seule et moins forte que C2.
De quoi c'est fait
Quatre éléments organisent la notion. L’intervalle I fixe le domaine étudié. La fonction f associe une valeur à chaque nombre de cet intervalle. La dérivabilité garantit qu’une dérivée existe en tout point, au sens unilatéral aux éventuelles extrémités incluses. La fonction dérivée f′ associe alors à chaque point la pente locale de f.
La dernière condition porte sur f′ : ses valeurs doivent varier continûment sur I, y compris aux éventuelles extrémités incluses. La dérivée dépend donc de f, tandis que l’exigence de continuité dépend du domaine choisi. Une couleur ou une échelle de tracé ne change pas la classe de la fonction. Ces données suffisent à tester l’appartenance à C1 : calculer f′, vérifier son existence partout — unilatéralement aux bornes incluses —, puis établir sa continuité.
Un exemple, pas à pas
Étudions la fonction f définie par f(x) = x2 sur l’intervalle fermé [−1 ; 2]. Les données sont la règle x2 et les bornes −1 et 2. La figure met en regard la courbe de f et la droite qui représente sa dérivée sur ce même intervalle.
1. On dérive la fonction carrée : .
2. Cette dérivée existe pour chaque nombre x de ]−1 ; 2[ ; aux bornes, les dérivées unilatérales valent f′(−1) = −2 et f′(2) = 4.
3. La fonction x ↦ 2x est affine, donc continue sur [−1 ; 2].
4. Les deux conditions étant réunies, f est de classe C1 sur [−1 ; 2].
2. Cette dérivée existe pour chaque nombre x de ]−1 ; 2[ ; aux bornes, les dérivées unilatérales valent f′(−1) = −2 et f′(2) = 4.
3. La fonction x ↦ 2x est affine, donc continue sur [−1 ; 2].
4. Les deux conditions étant réunies, f est de classe C1 sur [−1 ; 2].
Le contrôle se refait en quelques valeurs : f′(−1) = −2, f′(0) = 0 et f′(2) = 4. Ces résultats sont alignés sur la droite de pente 2, sans rupture entre les points.
En pratique
Pour établir qu’une fonction est C1, on calcule d’abord sa dérivée sur l’intervalle annoncé. On vérifie ensuite séparément que cette dérivée est continue. Si la fonction est donnée par morceaux, le point de raccord demande les deux contrôles.
Avant d’appliquer un résultat exigeant cette régularité, on repère donc l’hypothèse « de classe C1 ». Une simple mention « dérivable » ne la remplace pas, car la continuité de la dérivée reste à prouver.
Sur un graphique, une pente qui évolue progressivement fournit une intuition utile. Le dessin ne constitue toutefois pas une preuve : le calcul de f′ et l’étude de sa continuité tranchent.
À ne pas confondre
Fonction continue. La continuité concerne les valeurs de f, tandis que la classe C1 concerne aussi l’existence et la continuité de f′. La fonction valeur absolue est continue en 0, mais elle n’y est pas dérivable : elle n’est donc pas C1 sur un intervalle contenant 0.
Fonction dérivable. Toute fonction C1 est dérivable, mais la réciproque est fausse. Le test décisif consiste à examiner la continuité de la dérivée, et pas seulement son existence.
Fonction de classe C2. La classe C2 impose en plus l’existence et la continuité de la dérivée seconde. La fonction f(x) = |x|3/2 est C1 sur ℝ, mais elle n’est pas deux fois dérivable en 0 : elle n’est pas C2 sur ℝ.
Limites et pièges
Un raccord peut cacher le seul point délicat. Pour une fonction définie par morceaux, des formules régulières de chaque côté ne suffisent pas. Au point de raccord, il faut vérifier que la dérivée existe et que ses limites à gauche et à droite coïncident avec sa valeur.
Dérivable partout ne signifie pas C1. Considérons g(0) = 0 et, pour x non nul, g(x) = x2 sin(1/x2). La dérivée existe en 0, mais elle oscille sans rester bornée au voisinage de 0. Elle n’y est donc pas continue, et g n’est pas C1 sur un intervalle contenant 0.
Le domaine compte. Une singularité située hors de l’intervalle étudié n’empêche pas la propriété. Il faut toujours donner l’ensemble sur lequel on affirme que la fonction est C1, puis limiter chaque vérification à cet ensemble.
Pour aller plus loin
La notation se prolonge naturellement. Être de classe C2 impose une dérivée seconde continue ; plus généralement, être de classe Cn impose des dérivées continues jusqu’à l’ordre n. Une fonction C∞ possède des dérivées continues de tout ordre.
Cette hiérarchie permet d’annoncer précisément le degré de régularité disponible. Passer de C1 à un niveau supérieur demande une nouvelle dérivation et un nouveau contrôle de continuité ; aucune étape ne découle automatiquement de la précédente.
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