AnalyseNotion · Glossaire
Classe Ck (fonctions de)
Les fonctions de classe Ck sont les fonctions ayant des dérivées continues jusqu'à l'ordre k. Une fonction de classe C0 est simplement continue, une fonction de classe C1 est dérivable à dérivée continue, et ainsi de suite. Une fonction de classe C∞ possède des dérivées continues de tous les ordres ; on parle alors de fonction lisse ou infiniment différentiable. Ces classes forment une hiérarchie de régularité fondamentale en analyse réelle et en géométrie différentielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier C⁰, C¹, C² et C∞ au nombre d’ordres de dérivation continus.
- Vérifier sur g(x)=x|x| qu’une fonction peut être C¹ sans être C².
- Éviter de confondre fonction lisse, fonction analytique et fonction seulement dérivable.
- Adapter le critère aux fonctions de plusieurs variables et au domaine étudié.
En clair
Imaginez le graphe d’une fonction comme une route. Une fonction C⁰ trace une route sans coupure. Pour être C¹, elle doit aussi changer de pente sans cassure brusque. Être C² impose la même continuité au changement de pente suivant, et chaque nouvel indice ajoute un degré de régularité. La courbe de la fonction qui associe à un nombre x la valeur x|x| passe ainsi doucement par zéro, mais un changement plus profond y reste perceptible : elle est C¹, pas C².
Définition
Soit k un entier naturel et I un intervalle ouvert de nombres réels. Une fonction f définie sur I est de classe Ck lorsque ses dérivées d’ordres 0 à k existent et sont continues sur I. Par convention, la dérivée d’ordre 0 est la fonction elle-même. Le critère s’écrit : .
Ainsi, C⁰ signifie « continue » et C¹ signifie « dérivable avec une dérivée continue ». Une fonction est de classe C∞, dite lisse ou infiniment différentiable, si elle possède des dérivées continues de tout ordre. Plus l’indice est élevé, plus la condition est forte : . La réciproque n’est pas automatique.
Pour une fonction de plusieurs variables définie sur un ouvert de ℝn, être Ck signifie que toutes les dérivées partielles d’ordre total au plus k existent et sont continues. Le domaine fait partie du diagnostic : une même expression peut être lisse loin d’un point et perdre de la régularité à ce point.
Un exemple, pas à pas
On étudie sur ℝ la fonction g définie par . Données : g(x) = −x2 si x est négatif et g(x) = x2 si x est positif ou nul. Les deux expressions valent 0 en zéro.
1. Les deux morceaux se raccordent en zéro. Ailleurs, ce sont des polynômes. La fonction g est donc continue sur ℝ.
2. La dérivée vaut −2x à gauche de zéro et 2x à droite. En zéro, le taux d’accroissement |h| tend vers 0 avec h. Ainsi, sur ℝ.
3. La fonction g′ est continue, y compris en zéro. La fonction g est donc de classe C¹ sur ℝ.
4. La dérivée de g′ vaut −2 à gauche de zéro et 2 à droite. Ces limites diffèrent, donc g″(0) n’existe pas. Résultat : g est C¹ sur ℝ, mais pas C².
Pour contrôler le résultat, il suffit de comparer les pentes de g′ autour de zéro. Leur tracé rend visible le blocage entre C¹ et C².
En pratique
Pour déterminer la classe d’une fonction, on dérive successivement et l’on examine chaque point où une formule change, où un dénominateur s’annule ou où apparaît une valeur absolue. Dès qu’une dérivée manque ou cesse d’être continue, on s’arrête au dernier ordre validé.
Avant d’appliquer une approximation de Taylor d’ordre k, on compare la régularité disponible aux hypothèses exactes du théorème choisi. La mention Ck fournit un repère commode, mais une version du théorème peut demander une condition plus forte sur le reste.
Avec plusieurs variables, on contrôle les dérivées partielles jusqu’à l’ordre total demandé et leur continuité commune. Si une arête ou un point anguleux empêche ce contrôle, une description par morceaux ou un outil d’analyse non lisse est préférable à une classe Ck trop élevée.
À ne pas confondre
Ck et « k fois dérivable ». L’existence des dérivées jusqu’à l’ordre k ne suffit pas : Ck exige aussi leur continuité. Par exemple, la fonction valant pour x non nul et 0 en zéro est dérivable, mais sa dérivée est discontinue en zéro. Elle n’est donc pas C¹.
Fonction lisse et fonction analytique. Une fonction C∞ possède des dérivées continues de tous les ordres. Une fonction analytique doit en plus coïncider localement avec la série entière construite à partir de ses dérivées. La fonction égale à pour x non nul et à 0 en zéro est lisse, mais sa série en zéro est nulle : elle n’y est pas analytique.
Limites et pièges
Le sens de l’inclusion. Toute fonction Ck+1 est Ck, mais l’inverse est faux en général. La fonction g(x) = x|x| constitue le cas charnière : elle est C¹ sur ℝ et ne passe pas le seuil C².
Le domaine peut changer la réponse. La même fonction g est C∞ sur chacun des intervalles ouverts ]−∞, 0[ et ]0, +∞[, mais seulement C¹ sur ℝ. Il faut donc annoncer le domaine avant la classe.
Un bord demande une convention. La définition standard sur un ouvert utilise des dérivées des deux côtés. Sur un intervalle fermé, on précise si les dérivées aux extrémités sont unilatérales ou si la fonction doit admettre un prolongement Ck à un ouvert voisin.
En plusieurs variables, l’ordre est total. Pour être Ck, toutes les dérivées partielles dont la somme des nombres de dérivations ne dépasse pas k doivent exister et être continues. Contrôler seulement les dérivées obtenues en répétant k fois une même variable laisse de côté les dérivées mixtes.
Pour aller plus loin
La notion de dérivée partielle prolonge le contrôle de régularité aux fonctions de plusieurs variables et aide à lire la condition Ck dans ce cadre.
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