Dérivée faible

La courbe de la fonction valeur absolue forme un angle en zéro. Sa pente vaut −1 à gauche et 1 à droite, mais la dérivée classique manque précisément au sommet. La dérivée faible contourne ce point isolé : elle reconnaît la fonction qui vaut −1 à gauche et 1 à droite comme dérivée presque partout.

Le principe consiste à déplacer la dérivation sur une fonction auxiliaire très régulière, appelée fonction test, grâce à l’intégration par parties. On compare alors des intégrales plutôt que des pentes point par point.

Soit un intervalle ouvert noté Ω. Une fonction f, intégrable sur tout sous-intervalle compact de Ω, possède pour dérivée faible une fonction g ayant la même propriété si une identité d’intégration par parties vaut pour toute fonction test. Une fonction test, notée φ, est indéfiniment dérivable et n’est non nulle que dans une partie compacte de Ω.

Avec x pour variable d’intégration, l’identité exigée est :Le support compact de φ fait disparaître les termes de bord. Lorsqu’elle existe comme fonction localement intégrable, g est unique à égalité presque partout près : changer ses valeurs sur un ensemble de mesure nulle ne modifie aucune de ces intégrales.

Si f est continûment dérivable, sa dérivée classique est aussi sa dérivée faible. Plus généralement, ce résultat reste vrai lorsque f est absolument continue sur tout sous-intervalle compact : sa dérivée classique existe alors presque partout et est localement intégrable. Sans cette régularité, la seule existence ponctuelle d’une dérivée classique intégrable ne suffit pas. La réciproque est fausse : une fonction peut avoir un angle tout en possédant une dérivée faible. En plusieurs variables, la même identité définit chaque dérivée partielle faible en transférant la dérivation à la fonction test, avec un signe moins. Ces dérivées constituent notamment la structure des espaces de Sobolev.

Données. Sur la droite réelle, on prend la fonction f définie par f(x) = |x|. La fonction test φ est lisse et à support compact. La candidate g vaut −1 pour x négatif et 1 pour x positif ; sa valeur en zéro peut être choisie arbitrairement. La courbe de f et les deux paliers de g rendent visible le seul point où la dérivée classique manque.

Étape 1. On sépare l’intégrale de part et d’autre de zéro :

Étape 2. Une intégration par parties sur chaque demi-droite donne :

Étape 3. En réunissant les deux morceaux, on obtient exactement l’identité recherchée :

Résultat. La dérivée faible de |x| est donc la fonction signe presque partout. Pour contrôler le calcul, on refait les deux intégrations par parties : les termes à l’infini s’annulent grâce au support compact, et ceux en zéro sont nuls car ils contiennent le facteur x.

Pour une fonction définie par morceaux, on teste l’identité intégrale lorsque la dérivée classique échoue à un raccord. Si la fonction reste continue, comme |x| en zéro, ses pentes par morceaux peuvent encore former une dérivée faible. Si la fonction elle-même saute, il faut envisager une dérivée qui est une distribution plutôt qu’une fonction.

Dans une équation aux dérivées partielles, on cherche souvent une solution faible lorsque les données ne permettent pas d’obtenir une solution différentiable point par point. On multiplie l’équation par des fonctions test et on intègre ; une solution classique reste préférable lorsque sa régularité peut être établie.

Dans un espace de Sobolev, on contrôle une fonction et certaines de ses dérivées faibles par leur intégrabilité. Ce cadre est choisi lorsque des normes intégrales sont disponibles ; un espace de fonctions continûment dérivables convient mieux si des valeurs ponctuelles de la dérivée sont indispensables.

Dérivée classique. Elle est définie par une limite du taux d’accroissement en chaque point considéré. Pour f(x) = |x|, elle n’existe pas en zéro, tandis que la dérivée faible existe et vaut la fonction signe presque partout.

Dérivée au sens des distributions. Toute distribution possède des dérivées qui sont encore des distributions. Une dérivée faible, au sens retenu ici, doit en plus être représentable par une fonction localement intégrable. Ainsi, la fonction échelon de Heaviside a pour dérivée distributionnelle une distribution de Dirac, mais aucune dérivée faible qui soit une fonction localement intégrable.

Valeur en un point. Deux représentantes qui diffèrent seulement en zéro définissent la même dérivée faible. Chercher une valeur imposée pour g(0) est donc un faux problème ; il faut raisonner à égalité presque partout près.

Saut de la fonction. Des formules classiques par morceaux ne suffisent pas toujours. Un saut de f crée un terme concentré au raccord dans sa dérivée distributionnelle ; il faut alors conserver ce terme comme distribution au lieu de prétendre obtenir une fonction localement intégrable.

Existence non automatique. Être localement intégrable permet de définir la dérivée distributionnelle de f, mais ne garantit pas qu’elle soit représentée par une fonction. L’identité doit produire une fonction g localement intégrable pour que la dérivée faible existe au sens de cette fiche.

Plusieurs variables. Une dérivée faible n’est pas une unique pente globale. Il faut préciser la coordonnée dérivée et vérifier l’identité avec la dérivée partielle correspondante de chaque fonction test.

Intégration par parties — Retrouvez l’identité classique dont la définition faible conserve le mécanisme en supprimant les termes de bord.

espace de Sobolev — Voyez comment l’intégrabilité d’une fonction et de ses dérivées faibles organise un espace fonctionnel adapté aux équations différentielles.