Sobolev Sergueï

Entre 1908 et 1989, Sergueï Sobolev a travaillé comme mathématicien et physicien dans la Russie soviétique. Son idée décisive répond à une difficulté visible : une courbe peut avoir un coin, donc aucune tangente en ce point, tout en gardant une pente exploitable presque partout.

La dérivée faible saisit cette pente sans exiger une dérivée classique en chaque point. Les espaces de Sobolev regroupent alors des fonctions et leurs dérivées faibles selon des conditions communes. Ce cadre élargit la recherche de solutions aux équations aux dérivées partielles.

Sergueï Sobolev (1908–1989) est un mathématicien et physicien russe de l'époque soviétique. Il a renouvelé l'analyse mathématique en introduisant les espaces fonctionnels désormais appelés espaces de Sobolev et en développant la notion de dérivée faible pour l'étude des équations aux dérivées partielles.

Pour préciser cette notion, on considère une fonction intégrable u. Une fonction intégrable g est la dérivée faible de u si, pour toute fonction test lisse φ nulle hors d'un intervalle borné, l'identité suivante est vérifiée :

Cette égalité reporte la dérivation sur la fonction test. Elle reste donc pertinente lorsque u n'est pas dérivable au sens classique en certains points. Un espace de Sobolev rassemble des fonctions dont certaines dérivées faibles existent et satisfont une condition d'intégrabilité donnée. Il intègre ainsi l'information portée à la fois par les fonctions et par leurs dérivées faibles.

Ces idées ont posé des fondements de la théorie des distributions, formalisée indépendamment et plus complètement par Laurent Schwartz. Sobolev a aussi participé, comme physicien, à la conception de la bombe atomique soviétique.

Considérons la fonction u qui associe à tout nombre x compris entre −1 et 1 sa valeur absolue. Les données sont les suivantes :
• u(x) = |x| ;
• l'intervalle est ]−1, 1[ ;
• φ est une fonction test lisse, nulle près de −1 et de 1.

1. La courbe de u présente un coin en 0. Sa dérivée classique vaut −1 à gauche et 1 à droite, mais elle n'existe pas en 0.

2. On définit la fonction g par g(x) = −1 pour x négatif et g(x) = 1 pour x positif. La valeur choisie en 0 ne change aucune des intégrales.

3. Une intégration par parties séparée de chaque côté de 0 donne :

4. L'identité requise est satisfaite : g est donc la dérivée faible de u. Le contrôle consiste à refaire les deux intégrations par parties ; les termes en 0 se compensent et ceux aux extrémités sont nuls. La figure rend visibles le coin de u et les deux valeurs de g.

Lorsqu'une équation aux dérivées partielles n'admet pas de solution assez régulière pour être dérivée classiquement partout, on cherche une solution faible. Le critère n'est plus une égalité point par point : on vérifie une identité intégrale contre des fonctions test.

Pour choisir un cadre de travail, on précise quelles dérivées faibles sont exigées et comment la fonction ainsi que ces dérivées doivent être intégrables. Un espace de Sobolev convient lorsque ces informations sont centrales ; un espace de fonctions classiques reste préférable si la régularité point par point est déjà acquise et nécessaire.

Devant une courbe avec un coin, le premier geste consiste à distinguer l'absence locale de dérivée classique de l'absence de toute dérivée faible. L'exemple de la valeur absolue montre que la première n'entraîne pas la seconde.

Dérivée faible et dérivée classique. La dérivée classique se définit par une limite en chaque point considéré. La dérivée faible se reconnaît par une identité intégrale valable pour toutes les fonctions test. Pour u(x) = |x|, la première échoue en 0 tandis que la seconde existe sur ]−1, 1[.

Espace de Sobolev et théorie des distributions. Un espace de Sobolev impose des conditions d'intégrabilité à des fonctions et à certaines de leurs dérivées faibles. La théorie des distributions fournit un cadre plus général pour dériver des objets qui ne sont pas nécessairement des fonctions ordinaires.

Sobolev et Schwartz. Sobolev a posé des fondements de la théorie des distributions. Laurent Schwartz l'a formalisée indépendamment et plus complètement : la source n'attribue donc pas cette formalisation entière au seul Sobolev.

Un défaut en un point ne suffit pas. L'absence de dérivée classique en un point ne prouve ni l'existence ni l'absence d'une dérivée faible. Il faut vérifier l'identité intégrale pour toutes les fonctions test admises.

La valeur isolée est invisible aux intégrales. Dans l'exemple, donner à g n'importe quelle valeur en 0 ne modifie pas sa qualité de dérivée faible. Il ne faut donc pas demander une valeur point par point que la définition ne détermine pas.

Faible ne signifie pas classique. Une dérivée faible peut exister sans que la fonction soit différentiable partout. Pour obtenir une régularité point par point, il faut établir des hypothèses supplémentaires au lieu de la déduire du seul mot « dérivée ».

Une attribution doit rester nuancée. Dire que Sobolev a posé des fondements de la théorie des distributions respecte la source. Dire qu'il en a fourni seul la formalisation complète effacerait le travail indépendant et plus complet de Laurent Schwartz.

Dérivée faible — Approfondir l'identité intégrale qui remplace la dérivation point par point.

espace de Sobolev — Préciser comment fonctions et dérivées faibles sont réunies dans un même espace fonctionnel.

Les distributions : — Situer le cadre que Laurent Schwartz a formalisé indépendamment et plus complètement.