Schwartz Laurent

En 1950, Laurent Schwartz reçoit la médaille Fields pour une idée qui change l'analyse : la théorie des distributions. Elle étend la notion habituelle de fonction et rend rigoureux des calculs déjà utiles aux physiciens, notamment avec la fonction de Heaviside et la distribution delta de Dirac.

Son parcours relie recherche, enseignement et engagement. Professeur à l'École Polytechnique à partir de 1958, il en refonde les études de mathématiques et y crée un centre de recherches. Son opposition à la guerre d'Algérie et à la torture lui vaut pourtant d'en être exclu de 1961 à 1963.

Laurent Schwartz (1915-2002) est un mathématicien français dont l'œuvre majeure est la théorie des distributions. Cette théorie généralise la notion de fonction et fonde rigoureusement des calculs employés en physique avec la fonction de Heaviside ou la distribution delta de Dirac. Elle renouvelle aussi l'étude des transformées de Fourier et des équations aux dérivées partielles. La médaille Fields lui est attribuée en 1950. Il contribue également à la géométrie des espaces de Banach et aux probabilités. Bernard Malgrange, Jacques-Louis Lions, François Bruhat et Alexandre Grothendieck comptent parmi les étudiants qui prolongent ses travaux.

Entré à l'École Normale Supérieure en 1934, Laurent Schwartz est reçu à l'agrégation en 1937. Pendant la guerre, ses origines juives et ses convictions trotskistes le mettent en danger. À Clermont-Ferrand, où l'université de Strasbourg s'est repliée, il fréquente Henri Cartan, Jean Dieudonné et Charles Ehresmann, membres de Bourbaki. Il soutient en 1943, sous la direction de Georges Valiron, sa thèse Étude des sommes d'exponentielles.

Sa carrière passe par Grenoble en 1944, Nancy en 1945 et Paris en 1952. À l'École Polytechnique, à partir de 1958, il refonde les études de mathématiques et crée un centre de recherches. Conférencier et enseignant reconnu, il participe aux réformes universitaires et de l'enseignement, tout en s'opposant aux « mathématiques modernes » dans le secondaire. Son anticolonialisme, son opposition à la guerre d'Algérie et à la torture, ainsi que sa signature du Manifeste des 121, accompagnent son œuvre. Son autobiographie, Un mathématicien aux prises avec le siècle, en résume la portée. Passionné d'entomologie, il lègue aux musées une collection de plus de 20 000 papillons.

Retenons quatre données datées : l'entrée de Laurent Schwartz à l'École Normale Supérieure en 1934, sa thèse en 1943, la médaille Fields en 1950 et son arrivée comme professeur à l'École Polytechnique en 1958.

1. En 1934, son entrée à l'École Normale Supérieure marque le début de sa formation supérieure. Trois ans plus tard, il est reçu second à l'agrégation, derrière Gustave Choquet.

2. En 1943, à Clermont-Ferrand, il soutient Étude des sommes d'exponentielles sous la direction de Georges Valiron. Ce résultat date précisément sa thèse, pas encore ses livres sur les distributions.

3. En 1950, la théorie des distributions lui vaut la médaille Fields. La même année paraît le premier volume de Théorie des distributions ; le second suit en 1951, puis l'ensemble est réédité en 1966.

4. À partir de 1958, il enseigne à l'École Polytechnique, refonde les études de mathématiques et crée un centre de recherches. Son exclusion de 1961 à 1963 constitue une interruption liée à son engagement anticolonialiste.

Le contrôle garde un événement distinct par date : 1943 pour la thèse, 1950 pour la médaille Fields et le premier volume, 1951 pour le second, 1958 pour l'École Polytechnique.

Mini-cas guidé. Considérons la fonction de Heaviside : elle vaut 0 avant un instant choisi, puis 1 après cet instant. Première étape : sa dérivée ordinaire vaut 0 de chaque côté, mais elle n'est pas définie au point du saut ; ce calcul ordinaire perd donc le passage brusque de 0 à 1. Deuxième étape : dans le cadre des distributions, sa dérivée est la distribution delta de Dirac, concentrée à l'instant du saut. Troisième étape : pour le vérifier, on intègre cette dérivée sur un intervalle ; le résultat vaut 1 si l'intervalle traverse le saut, soit exactement sa hauteur, et 0 s'il ne le traverse pas. Le critère pratique apparaît ainsi : une fonction ordinaire suffit tant qu'aucun phénomène singulier n'est perdu ; le cadre des distributions devient utile lorsqu'un saut doit encore contribuer au calcul.

Pour étudier les transformées de Fourier ou les équations aux dérivées partielles, les distributions ouvrent un prolongement particulièrement fécond. Le critère est donc le problème traité : elles ne remplacent pas automatiquement toute fonction, mais élargissent les outils de l'analyse.

Pour suivre la transmission de cette théorie, les noms de Bernard Malgrange, Jacques-Louis Lions, François Bruhat et Alexandre Grothendieck signalent quatre prolongements par ses étudiants. Les ouvrages de Schwartz donnent une autre entrée : Théorie des distributions, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques et son Cours d'analyse à l'École Polytechnique.

Pour comprendre son action d'enseignant, il faut distinguer réforme et adhésion à toute réforme. Il transforme les études à l'École Polytechnique et s'implique dans l'université, mais combat la réforme des « mathématiques modernes » dans le secondaire.

Théorie des distributions et distribution delta de Dirac. La première est le cadre général inventé par Laurent Schwartz ; la seconde est un objet particulier utilisé auparavant dans les calculs des physiciens. La mention de Dirac dans un calcul ne désigne donc pas à elle seule toute la théorie de Schwartz.

Fréquenter Bourbaki et être présenté comme membre. À Clermont-Ferrand, Schwartz fréquente Henri Cartan, Jean Dieudonné et Charles Ehresmann, identifiés comme membres du groupe. La source n'affirme pas que Schwartz lui-même en est membre : ce critère d'attribution doit être respecté.

Thèse et théorie des distributions. Sa thèse de 1943 porte le titre Étude des sommes d'exponentielles. La médaille Fields liée à la théorie des distributions date de 1950 : les deux jalons ne se confondent ni par leur objet ni par leur date.

Réduire son œuvre aux distributions. La médaille Fields rend cette contribution centrale, mais elle n'épuise pas ses recherches. Ses apports à la géométrie des espaces de Banach et aux probabilités doivent aussi être conservés dans son portrait scientifique.

Lui attribuer la fonction de Heaviside ou la delta de Dirac. Le symptôme est une phrase qui en ferait ses inventions. Son apport consiste à donner, par la théorie des distributions, un fondement rigoureux aux calculs qui les emploient.

Lire 1961 comme la fin de sa carrière à l'École Polytechnique. La source décrit une exclusion limitée de 1961 à 1963, motivée par ses positions contre la guerre d'Algérie et la torture. Il faut présenter cet intervalle comme une interruption, non comme un départ définitif.

Faire de son opposition aux « mathématiques modernes » un refus de toute réforme. Ce raccourci contredit son implication dans les réformes universitaires et de l'enseignement. Il faut rattacher son opposition à cette réforme particulière dans le secondaire.

La fiche distribution de Dirac précise l'objet emblématique dont la théorie de Schwartz rend l'usage mathématique rigoureux.

La fiche Transformée de Fourier prolonge l'un des domaines où les distributions se révèlent particulièrement fécondes.

L'article D'Euclide à Bourbaki, la réforme permanente replace le groupe fréquenté par Schwartz à Clermont-Ferrand dans une histoire plus large des mathématiques.

Ses livres offrent enfin trois directions distinctes : la théorie avec les deux volumes de 1950 et 1951, le dialogue avec les sciences physiques en 1965, puis l'enseignement de l'analyse à l'École Polytechnique.