AnalyseNotion · Glossaire
distribution de Dirac
La distribution de Dirac, notée δ (delta), est un objet mathématique central dans la théorie des distributions, qui généralise la notion de fonction ordinaire. On la représente souvent, de manière heuristique et non définitionnelle, par un pic idéal à l'origine. Cette image exprime une masse totale égale à 1 au sens des mesures ou des distributions ; elle ne décrit pas une fonction ordinaire qui serait infinie en 0. Plus rigoureusement, δ est une mesure borélienne sur R concentrée en un seul point : pour tout ensemble mesurable A, δ(A) = 1 si 0 ∈ A et δ(A) = 0 sinon. La distribution de Dirac intervient naturellement en physique pour modéliser des phénomènes ponctuels ou impulsionnels, tels qu'une charge ponctuelle, une force instantanée ou un signal impulsionnel. En analyse, elle est l'élément neutre de la convolution et constitue la dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le pic idéal d’aire 1 sans le prendre pour une fonction ordinaire.
- Lire la définition par action sur une fonction test et par mesure concentrée en 0.
- Vérifier sur trois impulsions rectangulaires comment une aire 1 se concentre.
- Relier Dirac à la convolution et à la dérivée de la fonction de Heaviside.
En clair
Imaginez une charge entière placée exactement au point 0 d’un axe. Elle n’est répartie ni à gauche ni à droite : toute sa masse est concentrée en ce point. Un dessin la représente par un pic idéal d’aire 1.
La distribution de Dirac, notée δ, traduit cette concentration parfaite. Elle est nulle loin de 0, mais ce n’est pas une fonction ordinaire dotée d’une véritable valeur infinie. Ce qui compte est son effet global : elle conserve une masse totale égale à 1 et sélectionne ce qui se passe au point 0.
Définition
La distribution de Dirac, notée δ, est un objet de la théorie des distributions plutôt qu’une fonction ordinaire. Une fonction test, notée φ, est une fonction lisse (de classe C∞) à support compact, utilisée pour sonder une distribution. L’action de δ consiste à prendre la valeur de cette fonction au point 0 : . Dans la notation intégrale usuelle, la même propriété s’écrit . En particulier, sa masse totale vaut 1.
Comme mesure borélienne sur l’ensemble des réels ℝ, δ est entièrement concentrée en 0. Pour tout ensemble mesurable A, elle vaut 1 lorsque 0 appartient à A, et 0 sinon :
Ces deux points de vue, mesure et distribution, décrivent la même concentration ponctuelle dans leurs cadres respectifs.
En analyse, pour toute fonction ou distribution pour laquelle la convolution est définie, la convolution avec δ laisse cet objet inchangé : δ est l’élément neutre de la convolution. La fonction de Heaviside, notée H, passe de 0 à 1 à l’origine ; sa dérivée au sens des distributions est δ, ce qui s’écrit .
Un exemple, pas à pas
On approche le pic idéal par des impulsions rectangulaires centrées en 0.
Données : la largeur ε est positive ; la hauteur vaut 1/ε ; trois largeurs sont choisies, 1, 1/2 et 1/4. Chaque rectangle est nul hors de l’intervalle centré en 0 qui porte sa largeur.
Données : la largeur ε est positive ; la hauteur vaut 1/ε ; trois largeurs sont choisies, 1, 1/2 et 1/4. Chaque rectangle est nul hors de l’intervalle centré en 0 qui porte sa largeur.
Étape 1. Pour ε = 1, la hauteur vaut 1/1 = 1. L’aire du rectangle vaut donc 1 × 1 = 1.
Étape 2. Pour ε = 1/2, la hauteur vaut 1/(1/2) = 2. L’aire reste égale à (1/2) × 2 = 1.
Étape 3. Pour ε = 1/4, la hauteur vaut 1/(1/4) = 4. L’aire reste égale à (1/4) × 4 = 1.
Le contrôle est immédiat : largeur × hauteur vaut 1 dans les trois cas. Quand ε diminue, l’impulsion devient plus étroite et plus haute sans changer d’aire. Aucun de ces rectangles n’est δ ; ils rendent seulement visible la concentration progressive d’une aire unité au voisinage de 0.
En pratique
En physique, δ représente une charge ponctuelle lorsque son étendue est négligeable dans le modèle. Si la charge occupe une région mesurable, une densité répartie décrit mieux la situation.
Pour une force instantanée ou un signal impulsionnel, δ isole l’instant de l’impact. Si l’action dure pendant un intervalle observable, une fonction ordinaire qui décrit son évolution dans le temps est préférable.
En analyse, δ sert de neutre pour la convolution : pour toute fonction ou distribution avec laquelle cette convolution est définie, la convoluer avec δ restitue l’objet initial. Pour représenter un passage durable de 0 à 1, on emploie plutôt la fonction de Heaviside ; δ en décrit la variation instantanée au sens des distributions.
À ne pas confondre
Une fonction ordinaire. Une fonction attribue une valeur finie ou définie à chaque point de son domaine. La distribution δ se reconnaît plutôt à son action sur une fonction test. Un rectangle étroit de hauteur 4 reste une fonction ordinaire ; δ ne l’est pas.
La fonction de Heaviside. Heaviside décrit un état qui passe de 0 à 1 et reste ensuite à 1. Dirac décrit la variation concentrée au point du saut. Ainsi, après l’origine, Heaviside vaut 1 tandis que δ n’y porte aucune masse.
Limites et pièges
Le pic « infini » est une image. Écrire que δ vaut l’infini en 0 ne définit pas une fonction ordinaire. Le symptôme du piège est de vouloir calculer δ(0) comme un nombre. Il faut utiliser son action sur une fonction test ou la mesure d’un ensemble.
Une impulsion étroite n’est pas encore δ. Dans l’exemple, la largeur 1/4 et la hauteur 4 donnent toujours un rectangle d’aire 1. Tant que la largeur est positive, il s’agit d’une approximation ; seule la limite au sens des distributions conduit à δ.
La dérivée de Heaviside n’est pas classique à l’origine. Hors de 0, la dérivée ordinaire est nulle, et au point du saut elle n’est pas définie classiquement. L’égalité avec δ doit donc être lue au sens des distributions.
Pour aller plus loin
Les distributions : situe δ dans le cadre qui permet de dériver et de manipuler des objets plus généraux que les fonctions ordinaires.
fonction de Heaviside éclaire le saut dont la dérivée, interprétée au sens des distributions, est la distribution de Dirac.
convolution explique l’opération pour laquelle δ joue le rôle d’élément neutre.
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