AnalyseFormule · Glossaire
Sauts (formule des)
Pour une fonction C¹ par morceaux, admettant des limites latérales et des sauts localement en nombre fini, la dérivée distributionnelle réunit la dérivée ordinaire, définie presque partout, et une masse de Dirac à chaque discontinuité, pondérée par le saut signé : limite à droite moins limite à gauche. Elle permet de dériver sans perdre les variations instantanées et de traiter correctement les discontinuités, notamment dans les équations différentielles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Décomposer la dérivée distributionnelle en partie régulière et masses de Dirac.
- Calculer le poids signé d’une Dirac par la limite à droite moins la limite à gauche.
- Vérifier la formule sur une fonction affine par morceaux dont le saut vaut 2.
- Distinguer les sauts des valeurs isolées et des parties singulières continues.
En clair
Imaginez une courbe qui monte régulièrement, puis bondit de deux unités en franchissant zéro. Loin du bond, sa pente ordinaire décrit bien la variation. Au point du saut, cette pente presque partout ne voit pourtant pas les deux unités gagnées d’un coup.
La dérivée au sens des distributions conserve les deux informations : la pente sur les morceaux et une masse de Dirac concentrée au point du bond. Le poids de cette masse est exactement la hauteur algébrique du saut.
Définition
Soit f une fonction localement intégrable sur ℝ, de classe C1 par morceaux, dont les points de discontinuité de première espèce sont notés ai. Le saut de f en ai est la limite à droite moins la limite à gauche. Il peut être positif ou négatif. La distribution régulière associée à f, notée Tf, agit sur une fonction test φ en intégrant le produit fφ.
La dérivée distributionnelle de Tf est définie par . Une intégration par parties sur chaque intervalle de régularité fait apparaître les termes de bord :
Dans cette écriture, f′ est la dérivée classique définie presque partout et δaᵢ est la mesure de Dirac concentrée en ai.
La valeur choisie exactement au point ai ne change ni Tf ni la formule. Pour une fonction à variation bornée plus générale, la dérivée est encore une mesure, mais elle peut aussi comporter une partie singulière continue que la seule somme des sauts ne décrit pas.
Le principe
Si f est localement intégrable, C1 par morceaux et possède des sauts localement en nombre fini aux points ai, alors sa dérivée distributionnelle vaut :
Chaque intervalle régulier fournit la dérivée classique f′. Chaque discontinuité ajoute une Dirac au même point, multipliée par la limite à droite moins la limite à gauche.
Quand l'utiliser
La formule s’emploie sur un intervalle ouvert, ou localement sur ℝ, lorsque f est intégrable sur tout compact et C1 entre ses discontinuités. Il faut pouvoir calculer deux limites finies à chaque point de saut. Sur tout compact, les morceaux et les sauts doivent être en nombre fini dans ce cadre élémentaire.
Le résultat obtenu est une distribution : une partie régulière Tf′ et des masses ponctuelles. Si f est seulement continue par morceaux sans dérivée classique sur ses intervalles, le terme Tf′ n’est pas disponible sous cette forme. Si f est à variation bornée mais possède une variation singulière continue, il faut employer la décomposition complète de sa mesure dérivée, et non ajouter seulement les sauts.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie par f(x) = x lorsque x < 0 et f(x) = x + 2 lorsque x ≥ 0. Les données sont deux morceaux de pente 1, un point de raccordement égal à 0 et deux limites en ce point. La représentation sépare la courbe, la dérivée ordinaire presque partout et la contribution concentrée.
1. À gauche de zéro, la limite vaut 0. À droite, elle vaut 2. Le saut orienté est donc .
2. Sur chacun des deux intervalles ouverts, la dérivée classique de f vaut 1. Elle est ainsi égale à 1 presque partout ; son absence au seul point zéro ne change pas la distribution régulière associée.
3. La formule ajoute au terme régulier une Dirac de poids 2 au point du saut :
4. Pour contrôler le poids, prenons une fonction test φ égale à 1 au voisinage de 0. La contribution ponctuelle agit alors comme : elle retrouve exactement les deux unités du saut.
En pratique
Dans une équation différentielle, une inconnue imposée par morceaux peut changer brutalement à un instant. On dérive chaque morceau, puis on ajoute la Dirac pondérée par le saut. Une dérivée classique seule convient uniquement si aucune variation instantanée ne doit être conservée.
Pour vérifier un calcul, on dresse la liste des limites à gauche et à droite. Leur différence fixe le signe et le poids de chaque Dirac ; la pente des morceaux fournit séparément la partie régulière.
Dans les équations aux dérivées partielles, cette écriture traduit une interface discontinue en terme concentré. Si la fonction est régulière à travers l’interface, la contribution de saut est nulle et la dérivée usuelle suffit localement.
À ne pas confondre
Dérivée classique. Elle décrit la pente là où une limite de taux d’accroissement existe. Pour la fonction de l’exemple, elle vaut 1 hors de zéro mais n’enregistre pas le bond de 2 ; la dérivée distributionnelle l’enregistre.
Dirac et fonction ordinaire. δ0 n’est pas une fonction prenant une valeur infinie en zéro. C’est une mesure, ou une distribution, caractérisée par son action sur les fonctions test.
Discontinuité amovible. Changer seulement la valeur f(0), sans changer les limites latérales, ne crée aucun saut dans la distribution associée. Une vraie discontinuité de première espèce présente deux limites latérales différentes.
Limites et pièges
Signe inversé. Un saut descendant donne un poids négatif. Si la limite gauche vaut 3 et la limite droite 1, le coefficient est 1 − 3 = −2 ; il faut toujours calculer droite moins gauche.
Valeur isolée. Modifier f(0) dans l’exemple ne modifie pas Tf, car un point est négligeable pour l’intégrale. Le coefficient dépend des limites latérales 0 et 2, pas de la valeur attribuée en zéro.
Accumulation de sauts. Une somme infinie de Dirac n’est pas automatiquement définie. Il faut vérifier localement la sommabilité des poids, ou travailler dans un cadre de mesures adapté, au lieu d’appliquer formellement la somme finie.
Variation bornée générale. La partie en sauts peut ne pas épuiser la dérivée. Une fonction à variation bornée peut avoir une partie singulière continue ; la décomposition complète en parties absolument continue, de saut et singulière continue devient alors nécessaire.
Pour aller plus loin
La formule des sauts est un cas concret du calcul distributionnel : dériver ne produit plus nécessairement une fonction, mais peut produire une mesure concentrée sur une discontinuité.
L’article Les distributions : replace les fonctions tests, les dérivées faibles et les masses de Dirac dans leur cadre commun.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres