AnalyseNotion · Glossaire
Continue par morceaux
Une fonction est dite continue par morceaux sur un intervalle si cet intervalle peut être subdivisé en un nombre fini de sous-intervalles sur chacun desquels la fonction est continue et admet des limites finies aux extrémités. Les fonctions continues par morceaux forment une classe importante en analyse : sur un intervalle fermé et borné, elles sont Riemann-intégrables. Cette classe inclut par exemple les fonctions en escalier et les fonctions linéaires par morceaux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une subdivision finie en morceaux continus aux limites finies.
- Vérifier la notion sur une fonction affine par morceaux et calculer son intégrale.
- Distinguer continuité, fonction en escalier et fonction réglée.
- Identifier les hypothèses manquantes pour une intégrale impropre ou une convergence de Fourier.
En clair
Imaginez une courbe tracée avec quelques coups de crayon séparés. Chaque morceau se dessine sans lever la mine, mais un saut peut apparaître au raccord. La fonction est continue par morceaux si le nombre de raccords reste fini et si, en approchant chacun d’eux par la gauche ou par la droite, la courbe ne part pas vers l’infini.
Une fonction en escalier en donne une image simple : chaque marche est continue, tandis que les changements de hauteur sont des discontinuités admises.
Définition
Soit une fonction définie sur un intervalle fermé et borné. Elle est continue par morceaux s’il existe une subdivision finie de l’intervalle telle que, sur l’intérieur de chaque sous-intervalle, la fonction soit continue. Aux bornes de chaque morceau, les limites prises depuis l’intérieur du morceau doivent exister et être finies. La valeur de la fonction au point de raccord peut néanmoins différer de ces limites.
Les points de raccord sont donc en nombre fini, mais tous ne sont pas forcément des discontinuités. Un raccord peut joindre deux morceaux avec la même limite et la même valeur. À l’inverse, deux limites latérales finies mais différentes produisent un saut. Les fonctions en escalier et les fonctions linéaires par morceaux appartiennent à cette classe.
Sur un intervalle fermé et borné, ces conditions rendent la fonction bornée et Riemann-intégrable. Sur un intervalle non borné, l’expression « continue par morceaux » reste locale et ne garantit pas, à elle seule, la convergence d’une intégrale impropre.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 2].
• Pour −2 ≤ x < 0, sa valeur est x + 2.
• Pour 0 ≤ x ≤ 2, sa valeur est x.
• La subdivision choisie a pour bornes −2, 0 et 2.
Le tracé associé rend visible le saut au raccord : la limite à gauche vaut 2, tandis que la valeur et la limite à droite valent 0.
• Pour −2 ≤ x < 0, sa valeur est x + 2.
• Pour 0 ≤ x ≤ 2, sa valeur est x.
• La subdivision choisie a pour bornes −2, 0 et 2.
Le tracé associé rend visible le saut au raccord : la limite à gauche vaut 2, tandis que la valeur et la limite à droite valent 0.
1. Sur chacun des deux intervalles ouverts, f est une fonction affine, donc continue.
2. Au raccord 0, les deux limites latérales existent et sont finies.
3. L’intégrale du premier morceau vaut .
4. L’intégrale du second morceau vaut .
2. Au raccord 0, les deux limites latérales existent et sont finies.
3. L’intégrale du premier morceau vaut .
4. L’intégrale du second morceau vaut .
La fonction est donc continue par morceaux et son intégrale de Riemann sur [−2 ; 2] vaut 2 + 2 = 4. Un contrôle direct consiste à additionner les aires de deux triangles rectangles de base 2 et de hauteur 2 : chacune vaut 2.
En pratique
Pour intégrer une fonction donnée par plusieurs formules, on place d’abord les points de raccord dans la subdivision. On intègre ensuite chaque expression sur son intervalle, puis on additionne les résultats. Une intégrale impropre est nécessaire si l’intervalle est non borné ou si une limite devient infinie.
Pour lire un signal présentant quelques sauts, on examine séparément les portions entre deux changements. Le modèle continu par morceaux convient lorsque ces changements sont isolés et en nombre fini sur la durée observée ; un modèle plus général est requis si les ruptures s’accumulent.
Pour étudier une série de Fourier, reconnaître la continuité par morceaux constitue un premier contrôle, mais pas le dernier. Il faut encore vérifier les hypothèses du théorème de convergence utilisé, par exemple une régularité par morceaux plus forte ou une variation bornée.
À ne pas confondre
Fonction continue. Une fonction continue ne présente aucun saut sur l’intervalle. La fonction de l’exemple est continue par morceaux, mais elle n’est pas continue en 0 puisque sa limite à gauche vaut 2 et sa valeur vaut 0.
Fonction en escalier. Elle est constante sur chaque morceau, tandis qu’une fonction continue par morceaux peut varier. La fonction de l’exemple a des morceaux affines non constants : elle n’est donc pas en escalier.
Fonction réglée. Sur un intervalle compact, une fonction réglée est une limite uniforme de fonctions en escalier. Toute fonction continue par morceaux y est réglée, mais une fonction réglée peut avoir une infinité de discontinuités ; le critère de subdivision finie les distingue.
Limites et pièges
Une infinité de raccords ne forme pas une subdivision finie. Si les ruptures s’accumulent dans l’intervalle, découper davantage ne suffit jamais à obtenir un nombre fini de morceaux. Il faut alors étudier une classe plus générale de fonctions.
Une limite infinie exclut la continuité par morceaux au sens retenu ici. Si la courbe tend vers +∞ ou −∞ à une extrémité d’un morceau, la condition de limite finie échoue. L’intégrale éventuelle doit être traitée comme impropre.
L’intégrabilité de Riemann exige un cadre compact. Sur un intervalle fermé et borné, une fonction continue par morceaux est Riemann-intégrable. Sur un intervalle non borné, cette propriété ne décide pas de la convergence de l’intégrale impropre.
La convergence de Fourier demande des hypothèses supplémentaires. La seule continuité par morceaux n’assure pas en général la convergence ponctuelle de la série aux points de continuité. Il faut appliquer un théorème dont les conditions sont vérifiées, par exemple avec une fonction périodique de variation bornée ou suffisamment régulière par morceaux.
Pour aller plus loin
fonction en escalier — Observer le cas où chaque morceau est constant et où les seules variations sont des sauts.
Discontinuité — Distinguer un saut fini des autres façons dont la continuité peut échouer.
fonction réglée — Situer la continuité par morceaux dans une classe qui autorise davantage de discontinuités.
série de Fourier — Examiner la décomposition périodique et les hypothèses qui encadrent sa convergence ponctuelle.
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