série de Fourier

Imaginez un signal qui recommence identiquement après chaque tour. Une série de Fourier le reconstruit en superposant des oscillations simples : une moyenne, puis des cosinus et des sinus de fréquences entières. Chaque coefficient indique la part d’une oscillation dans le signal.

Les premières oscillations dessinent les grandes lignes. Les suivantes ajoutent des détails de plus en plus fins. Une somme finie donne une approximation ; la série entière décrit le développement théorique.

Soit une fonction f de période 2π, intégrable sur une période. Son développement de Fourier associe à f une constante et, pour chaque entier positif k, un cosinus et un sinus de fréquence k. Avec la convention où le terme constant est la moitié de a₀, le polynôme d’ordre n s’écrit :

Le nombre a₀ mesure deux fois la valeur moyenne. Pour chaque entier k ≥ 1, a_k mesure la composante en cosinus et b_k la composante en sinus. Ces coefficients sont obtenus par projection sur une période : $a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (kx)dxa\_k=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}f(x)\backslash cos(kx)\backslash ,dx$ et $b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (kx)dxb\_k=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}f(x)\backslash sin(kx)\backslash ,dx$. La série est la somme formelle infinie dont les S_n sont les sommes partielles. Leur convergence vers une fonction dépend du mode de convergence choisi et d’hypothèses supplémentaires. L’intégrabilité suffit à définir les coefficients, mais pas à garantir une convergence ponctuelle vers f en tout point. D’autres conventions absorbent le facteur 1/2 dans le terme constant ; il faut donc toujours vérifier la définition de a₀.

Une série de Fourier réunit quatre éléments nécessaires. La fonction f fournit le motif périodique à analyser. Sa période fixe les fréquences admissibles ; pour une période 2π, elles sont les entiers k. Les fonctions cos(kx) et sin(kx) forment les oscillations élémentaires. Enfin, les coefficients a_k et b_k règlent leurs amplitudes et leurs signes.

La période détermine donc la famille d’oscillations, tandis que les intégrales de f contre chacune d’elles déterminent les coefficients. Le choix de n fixe ensuite le nombre d’harmoniques conservées dans S_n. Ces données suffisent à construire chaque somme partielle et à comparer son tracé à celui de la fonction périodique. La couleur ou l’échelle d’un graphique ne font pas partie de la série.

Considérons la fonction f de période 2π définie par f(x) = x pour −π < x < π. Elle est impaire. Nous cherchons sa somme partielle d’ordre 3, puis sa valeur en x = π/2.

1. La symétrie impaire donne a₀ = 0 et a_k = 0 pour tout entier k ≥ 1.
2. Pour calculer b_k, une intégration par parties donne $b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin (kx)dx=\frac{1}{\pi }({[-\frac{x\cos (kx)}{k}]}_{-\pi }^{\pi }+{\left[\frac{\sin (kx)}{k^2}\right]}_{-\pi }^{\pi })=\frac{1}{\pi }(-\frac{2\pi (-1{)}^k}{k}+0)=\frac{2(-1{)}^{k+1}}{k}b\_k=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash int\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}x\backslash sin(kx)\backslash ,dx=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash left(\backslash left[-\backslash frac\{x\backslash cos(kx)\}\{k\}\backslash right]\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}+\backslash left[\backslash frac\{\backslash sin(kx)\}\{k^2\}\backslash right]\_\{-\backslash pi\}^\{\backslash pi\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash left(-\backslash frac\{2\backslash pi(-1)^k\}\{k\}+0\backslash right)=\backslash frac\{2(-1)^\{k+1\}\}\{k\}$ : le premier crochet fournit les termes aux bornes et le second est nul puisque sin(kπ) = 0.
3. Pour k = 1, 2 et 3, les coefficients valent donc 2, −1 et 2/3.
4. La somme cherchée est $S_3(x)=2\sin (x)-\sin (2x)+\frac{2}{3}\sin (3x)S\_3(x)=2\backslash sin(x)-\backslash sin(2x)+\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash sin(3x)$.
5. En x = π/2, on obtient S₃(π/2) = 4/3 ≈ 1,333, tandis que f(π/2) = π/2 ≈ 1,571.

Le contrôle est direct : remplacer x par π/2 donne sin(π/2) = 1, sin(π) = 0 et sin(3π/2) = −1, donc 2 − 2/3 = 4/3. Le tracé met aussi en évidence l’approximation obtenue avec seulement trois harmoniques.

Pour analyser un signal périodique, on calcule ses coefficients afin de repérer les harmoniques dominantes. Si le signal n’est pas périodique, la transformée de Fourier est généralement le cadre adapté.

Pour approcher une fonction périodique, on choisit un ordre n puis on évalue S_n. On augmente n jusqu’à ce que le niveau de détail convienne, tout en surveillant les oscillations près des sauts.

Pour résoudre certaines équations comportant une variable périodique, on travaille harmonique par harmonique. Une méthode directe reste préférable lorsque la fonction n’a pas de structure périodique exploitable.

Série de Fourier et polynôme de Fourier. Le polynôme ne conserve qu’un nombre fini d’harmoniques, jusqu’à l’ordre n. La série désigne la somme formelle infinie ; les S_n forment la suite de ses sommes partielles. On ne parle de leur limite que lorsqu’un mode de convergence et des hypothèses appropriées sont précisés. Dans l’exemple f(x) = x, S₃ est un polynôme de Fourier, pas la série entière.

Série de Fourier et transformée de Fourier. La série produit des fréquences discrètes pour un motif périodique. La transformée s’applique aussi à des signaux non périodiques, sans imposer que leur spectre soit continu. Un signal répété toutes les 2π unités appelle une série ; une impulsion isolée ne possède pas ce motif périodique.

Coefficients définis, convergence non garantie. L’intégrabilité sur [−π, π] rend les intégrales des coefficients possibles. Elle ne suffit pas, à elle seule, à assurer que les sommes partielles convergent vers f en chaque point. Il faut annoncer séparément le mode de convergence et les hypothèses utilisées.

Valeur à un saut. Pour le prolongement périodique de f(x) = x, les extrémités −π et π forment un saut. Sous les hypothèses usuelles de régularité par morceaux, la série converge au milieu des limites latérales, ici 0, et non vers l’une des deux valeurs ±π. Les oscillations proches du saut persistent : c’est le phénomène de Gibbs.

Période différente de 2π. Les formules affichées supposent une période 2π. Pour une période T positive, les fréquences deviennent des multiples de 2π/T et les facteurs d’intégration changent. Réutiliser les formules sans ce redimensionnement donne de mauvais coefficients.

Convention du terme constant. Certaines écritures utilisent a₀/2 ; d’autres nomment directement a₀ la moyenne. Avant de comparer deux résultats, il faut vérifier si a₀ vaut l’intégrale divisée par π ou par 2π.

Joseph Fourier — Situer l’origine de cette décomposition et le parcours du mathématicien qui lui a donné son nom.