Série trigonométrique

Imaginez plusieurs oscillations régulières superposées. La première effectue un tour pendant que la suivante en effectue deux, puis trois, et ainsi de suite. Chacune reçoit un poids qui règle son influence.

Une série trigonométrique organise cette addition sans fixer d'avance le nombre d'oscillations. Les cosinus et les sinus fournissent les rythmes élémentaires ; leurs coefficients déterminent le mélange. La question décisive est alors de savoir si les sommes successives se rapprochent bien d'une valeur.

Une série trigonométrique est déterminée par une suite de coefficients notés a₀, a₁, a₂,… et une autre suite notée b₁, b₂,… Pour une variable réelle x, son écriture formelle est :

L'indice entier positif n indique la fréquence de chaque oscillation. Le coefficient a_n pondère le cosinus de fréquence n, tandis que b_n pondère le sinus correspondant. Le terme a₀/2 est constant. Une somme arrêtée à un indice fini est un polynôme trigonométrique. La série de Fourier est un cas particulier : ses coefficients sont obtenus comme coefficients de Fourier d'une fonction. Une suite quelconque de coefficients donne bien une série formelle, mais sa convergence doit encore être étudiée avant d'en faire une somme définie pour une valeur de x.

Quatre éléments structurent l'objet. Le terme constant a₀/2 est le terme constant de la série ; lorsque la moyenne est définie dans le cadre considéré, il en représente le niveau moyen. Les cosinus cos(nx) forment une première famille d'oscillations ; les sinus sin(nx) forment la famille complémentaire. Enfin, les coefficients a_n et b_n règlent l'amplitude de chaque composante.

L'indice n lie chaque paire de coefficients à une même fréquence. Modifier a_n ou b_n change donc la contribution de cette fréquence sans changer les autres indices. L'ordre de troncature N détermine la somme partielle : elle conserve seulement les termes d'indice inférieur ou égal à N. Ces données suffisent à construire chaque somme partielle et à comparer leur comportement lorsque N augmente. Le tracé, la couleur ou l'échelle d'un graphique ne définissent pas la série.

On choisit une série dont deux coefficients seulement sont non nuls. Les données sont a₁ = 1, b₂ = 1/2, a₀ = 0, et tous les autres coefficients valent 0. La somme ne contient donc qu'un cosinus de fréquence 1 et un sinus de fréquence 2.

1. En remplaçant les coefficients, on obtient la somme S associée à la variable x :

2. Pour x = 0, cos(0) = 1 et sin(0) = 0, donc S(0) = 1.
3. Pour x = π/2, cos(π/2) = 0 et sin(π) = 0, donc S(π/2) = 0.
4. Pour x = π, cos(π) = −1 et sin(2π) = 0, donc S(π) = −1.

Le résultat est ici exact, car tous les termes omis ont un coefficient nul. Un contrôle refaisable consiste à remplacer x par 2π : les deux fonctions retrouvent leurs valeurs en 0, donc S(2π) = 1. Le tracé sur un tour complet matérialise ces valeurs et l'effet combiné des deux fréquences.

Pour calculer une approximation, on choisit un ordre N et l'on additionne les composantes jusqu'à cet indice. Si tous les coefficients suivants sont nuls, le polynôme trigonométrique obtenu est déjà la somme exacte.

Pour décrire une fonction périodique, on cherche plutôt sa série de Fourier : les coefficients proviennent alors de cette fonction. Une série trigonométrique générale convient lorsque les coefficients sont donnés indépendamment et que l'on étudie la série elle-même.

Pour examiner la convergence, on compare les sommes partielles lorsque N augmente. Si leurs valeurs ne se stabilisent pas au point x étudié, il faut conserver le langage de série formelle ou préciser un autre mode de convergence, au lieu d'affirmer qu'une somme ponctuelle existe.

Série de Fourier. Ses coefficients sont les coefficients de Fourier d'une fonction donnée. Si les suites a_n et b_n sont posées sans fonction d'origine, on parle plus généralement de série trigonométrique.

Polynôme trigonométrique. Il ne comporte qu'un nombre fini de fréquences. La somme $S(x)=\cos (x)+\frac{1}{2}\sin (2x)S(x)=\backslash cos(x)+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sin(2x)$ de l'exemple est donc un polynôme trigonométrique, même si elle peut être écrite comme une série dont les coefficients suivants sont nuls.

Le test est concret : on regarde si des termes non nuls subsistent au-delà de tout indice fixé. Dans ce cas, l'objet n'est pas un polynôme trigonométrique ; la convergence de la série doit alors être étudiée et peut être établie ou réfutée selon les coefficients.

Écriture infinie ne signifie pas convergence. Le symptôme est l'absence de stabilisation des sommes partielles pour la valeur de x considérée. Il faut alors étudier la convergence avant de parler de la valeur de la série.

Cas fini caché. Si tous les coefficients sont nuls après un indice N, la série se réduit exactement à un polynôme trigonométrique. Il n'y a alors aucun passage à l'infini à justifier pour calculer sa valeur.

Convergence à préciser. Une affirmation globale sur « la convergence » peut masquer la valeur de x ou le mode de convergence étudié. Il faut annoncer le cadre retenu et ne pas déduire automatiquement une convergence ponctuelle d'un énoncé formulé dans un autre cadre.

série de Fourier — Pour relier les coefficients trigonométriques à une fonction dont ils proviennent.

Polynôme trigonométrique — Pour approfondir le cas où seul un nombre fini de fréquences intervient.

analyse harmonique — Pour situer l'étude des séries trigonométriques dans son domaine mathématique naturel.