Polynôme trigonométrique

Imaginez une courbe qui recommence le même motif tous les 2π radians. Une onde en cosinus lui donne une grande oscillation ; une onde en sinus de fréquence double ajoute deux variations plus rapides. En réglant quelques amplitudes puis en additionnant ces ondes, on obtient un polynôme trigonométrique.

Le mot « polynôme » souligne que la somme s'arrête après un nombre fini de fréquences. Chaque terme décrit une oscillation simple ; leur combinaison dessine un motif périodique plus riche.

Un polynôme trigonométrique réel est une fonction obtenue par une somme finie de sinus et de cosinus. La variable réelle est notée x, l'entier naturel n fixe la plus grande fréquence autorisée, et les nombres réels a₀, a_k et b_k règlent les amplitudes : $P(x)=a_0+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))P(x)=a\_0+\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\backslash left(a\_k\backslash cos(kx)+b\_k\backslash sin(kx)\backslash right)$. Les fréquences k sont des entiers ; avec cette convention, chaque terme et leur somme sont 2π-périodiques. La période fondamentale peut toutefois être plus petite.

La même fonction peut s'écrire avec l'unité imaginaire i et des coefficients complexes c_k : $P(x)={\sum }_{k=-n}^n{c}_k{e}^{ikx}P(x)=\backslash sum\_\{k=-n\}^\{n\}c\_k\; e^\{ikx\}$. Pour que P prenne des valeurs réelles, il faut que $c_0\in \mathbb{R}c\_0\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ et que les coefficients de fréquences opposées vérifient $c_{-k}=\overline{c_k}c\_\{-k\}=\backslash overline\{c\_k\}$ pour $k\ge 1k\backslash geq\; 1$. Les deux écritures décrivent donc le même objet sous deux formes.

Pour toute fonction continue et 2π-périodique, il existe des polynômes trigonométriques qui l'approchent uniformément avec une erreur aussi petite que souhaité. Cette densité ne signifie pas que la fonction est elle-même une somme finie : augmenter n autorise davantage de fréquences et affine l'approximation. C'est le lien essentiel avec les séries de Fourier et l'analyse harmonique.

Quatre éléments organisent l'objet. La variable x indique la position dans le motif périodique. Le terme constant a₀ déplace tout le graphe verticalement. Pour chaque entier k compris entre 1 et n, cos(kx) et sin(kx) forment la paire d'ondes de fréquence k. Enfin, les coefficients a_k et b_k fixent la contribution de cette paire.

L'indice maximal n borne le nombre de fréquences, tandis qu'un coefficient nul retire la composante correspondante. La fréquence dépend de k ; l'amplitude et le déphasage résultent ensemble de a_k et b_k. Ces données suffisent à calculer P(x) en tout point et à tracer exactement la fonction, indépendamment de la couleur ou de l'échelle choisies pour son graphe.

Prenons le polynôme trigonométrique $P(x)=1+2\cos (x)-\sin (2x)P(x)=1+2\backslash cos(x)-\backslash sin(2x)$. Les données sont le terme constant 1, le coefficient 2 devant cos(x), le coefficient −1 devant sin(2x), et la variable x mesurée en radians.

1. La plus grande fréquence présente est 2 : le degré trigonométrique de P vaut donc 2.

2. À x = 0, cos(0) = 1 et sin(0) = 0. On obtient exactement P(0) = 1 + 2 × 1 − 0 = 3.

3. À x = π/2, cos(π/2) = 0 et sin(π) = 0. On obtient exactement P(π/2) = 1.

4. Le contrôle de périodicité donne P(2π) = 3, comme P(0). De même, P(π) = −1 et P(3π/2) = 1. La courbe calculée sur une période passe par ces cinq valeurs et montre comment les fréquences 1 et 2 composent un seul motif.

Pour représenter un phénomène périodique continu, choisissez un nombre fini de fréquences et ajustez leurs coefficients. Un polynôme trigonométrique est préférable à un polynôme ordinaire lorsque les valeurs aux deux extrémités d'une période doivent se raccorder avec le même motif.

Pour calculer ou stocker une approximation, conservez seulement les fréquences utiles. Si l'erreur reste trop visible, augmentez le degré n ; si une représentation exacte exige une infinité de fréquences, passez à une série de Fourier plutôt que de qualifier la somme de polynôme trigonométrique.

Pour comparer deux approximations d'une même fonction continue et 2π-périodique, observez leur erreur maximale sur une période. Ce critère correspond à l'approximation uniforme évoquée par la densité ; une vérification en quelques points seulement ne suffit pas à la garantir.

Polynôme trigonométrique et polynôme ordinaire. Le premier combine un nombre fini de sin(kx) et cos(kx) ; le second combine des puissances de x. Ainsi, 1 + 2 cos(x) est trigonométrique, tandis que 1 + 2x est ordinaire.

Polynôme trigonométrique et série de Fourier. Le critère est le nombre de fréquences : il est fini dans le polynôme, alors qu'une série peut contenir une infinité de termes. La somme 1 + 2 cos(x) − sin(2x) est un polynôme trigonométrique ; une expansion qui poursuit les fréquences sans borne est une série.

Fréquence non entière. Avec la convention 2π-périodique, cos(√2 x) n'est pas un polynôme trigonométrique, même s'il s'agit d'une somme finie d'une seule fonction trigonométrique. Le symptôme est l'absence de fréquence entière ; il faut préciser un autre cadre ou changer l'échelle de la variable.

Degré artificiellement trop grand. Écrire une somme jusqu'à n ne prouve pas que son degré vaut n. Si a_n et b_n sont tous deux nuls, la fréquence n disparaît ; cherchez le plus grand indice dont au moins un des deux coefficients est non nul.

Densité sans égalité finie. Une erreur uniforme que l'on peut rendre inférieure à tout seuil positif n'implique pas qu'un polynôme trigonométrique coïncide exactement avec la fonction visée. Si l'erreur ne devient nulle pour aucun degré fini, parlez d'approximation ou utilisez la série de Fourier complète.

Période fondamentale. Tous les termes à fréquences entières ont 2π pour période commune, mais 2π n'est pas toujours la plus petite période positive. Par exemple, sin(2x) se répète déjà après π ; pour un polynôme trigonométrique non constant, déterminez la plus petite période à partir des fréquences réellement présentes. Une fonction constante admet toute période positive et n'a donc pas de plus petite période positive.

série de Fourier — Passer d'une somme finie de fréquences à une décomposition éventuellement infinie d'une fonction périodique.

analyse harmonique — Situer les polynômes trigonométriques dans l'étude des fonctions par leurs composantes fréquentielles.

Stone-Weierstrass (théorème de) — Approfondir le cadre général qui explique la densité d'algèbres de fonctions continues.

À la base du traitement du signal — Voir comment une décomposition en fréquences intervient dans l'analyse d'un signal.