AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction en escalier
Une fonction en escalier sur [a, b] est une fonction numérique pour laquelle il existe une subdivision finie de [a, b] telle qu'elle soit constante sur chacun des sous-intervalles obtenus, selon une convention fixée aux points de coupure. Son graphe forme des marches ; cette structure permet notamment de calculer son intégrale en additionnant, sur chaque tranche, la valeur constante multipliée par la longueur de la tranche.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une fonction constante sur chacune des tranches d'une subdivision finie.
- Calculer son intégrale comme somme des hauteurs multipliées par les largeurs.
- Distinguer les valeurs aux coupures du calcul de l'intégrale.
- Éviter de confondre fonction en escalier, fonction constante, fonction continue et fonction affine par morceaux.
En clair
Imaginez un tarif qui reste à 2 euros pendant deux heures, passe à 5 euros pendant les deux suivantes, puis vaut 1 euro pendant les deux dernières. Sa courbe forme des marches horizontales : la valeur ne bouge pas à l'intérieur de chaque tranche, mais elle peut sauter quand une nouvelle tranche commence. Une fonction en escalier décrit précisément ce comportement.
Définition
Une fonction en escalier est une fonction numérique définie sur un intervalle fermé [a, b]. Il existe une subdivision, c'est-à-dire une suite finie de points ordonnés allant de l'extrémité a à l'extrémité b. Entre deux points consécutifs, la fonction garde une valeur constante.
En notant x0, x1, …, xn les points de la subdivision et ci la valeur sur la ie tranche, la condition s'écrit : . La convention choisie pour attribuer les points de coupure aux tranches peut varier. Des valeurs isolées aux points xi ne changent pas l'intégrale de Riemann.
La somme de deux fonctions en escalier et le multiple scalaire d'une fonction en escalier restent des fonctions en escalier, après avoir réuni leurs subdivisions. Elles forment donc un espace vectoriel. Leur intégrale est la somme de chaque hauteur multipliée par la largeur de sa tranche : .
De quoi c'est fait
Une fonction en escalier repose sur quatre éléments. L'intervalle [a, b] fixe le domaine étudié. La subdivision place un nombre fini de coupures x0, …, xn. Les tranches situées entre deux coupures portent chacune une constante ci. Enfin, une convention précise les valeurs prises exactement aux coupures.
Les coupures déterminent la largeur des marches ; les constantes en déterminent la hauteur. Ces deux données suffisent à tracer le graphe entre les coupures et à calculer l'intégrale. La couleur, l'épaisseur du trait ou l'échelle graphique ne définissent pas la fonction. Les valeurs aux coupures font partie de la fonction, mais modifier un nombre fini d'entre elles ne modifie pas son intégrale de Riemann.
Un exemple, pas à pas
Considérons une fonction f sur [0, 6]. Elle vaut 2 sur [0, 2[, 5 sur [2, 4[ et 1 sur [4, 6]. Les données sont donc les coupures 0, 2, 4 et 6, ainsi que les hauteurs 2, 5 et 1. Le graphe associé rend visibles ces trois marches.
1. Chaque tranche a pour largeur 2.
2. La première contribution vaut 2 × 2 = 4.
3. La deuxième contribution vaut 5 × 2 = 10.
4. La troisième contribution vaut 1 × 2 = 2.
2. La première contribution vaut 2 × 2 = 4.
3. La deuxième contribution vaut 5 × 2 = 10.
4. La troisième contribution vaut 1 × 2 = 2.
L'intégrale sur [0, 6] vaut donc exactement : . Pour contrôler le résultat, on additionne les aires signées des trois rectangles. Leur somme redonne 16. Les choix de valeurs aux deux coupures 2 et 4 n'affectent pas ce calcul.
En pratique
Pour calculer une intégrale, on repère les tranches constantes, puis on additionne hauteur × largeur. Dans l'exemple sur [0, 6], ce calcul donne 16 sans chercher de primitive. Une méthode par primitive est préférable lorsque la fonction varie continûment selon une expression simple.
Pour modéliser un barème ou un tarif par paliers, chaque seuil devient une coupure et chaque montant devient la hauteur d'une marche. Si la grandeur évolue réellement entre les seuils, une fonction affine par morceaux décrit mieux cette variation.
Pour approcher une fonction plus générale, on choisit une subdivision et une valeur représentative sur chaque tranche. Des tranches plus fines peuvent suivre davantage de variations. Il faut toutefois contrôler l'erreur d'approximation : le simple ajout de coupures ne garantit rien si les hauteurs sont mal choisies.
À ne pas confondre
Fonction constante. Elle conserve une seule valeur sur tout son intervalle. Une fonction en escalier peut avoir plusieurs marches : l'exemple prend successivement 2, 5 et 1. Une fonction constante est donc un cas particulier de fonction en escalier.
Fonction affine par morceaux. Sur chaque tranche, son graphe peut être incliné. Une fonction en escalier exige des morceaux horizontaux. Ainsi, une tranche où la valeur passe progressivement de 2 à 5 n'est pas une marche constante.
Fonction continue. Sur un intervalle, une fonction à la fois continue et en escalier est nécessairement constante. La fonction constante appartient donc aux deux catégories ; l'exemple, qui saute aux abscisses 2 et 4, n'est pas continu sur tout [0, 6].
Limites et pièges
Les points de coupure demandent une convention. Écrire seulement « 2 jusqu'à 2, puis 5 » laisse indécise la valeur en 2. Il faut employer des intervalles ouverts ou fermés, ou donner séparément cette valeur. Ce choix ne change pas l'intégrale, mais il change la fonction point par point.
Une infinité de marches sort de la définition. Une fonction peut être constante sur une infinité de petits intervalles sans être une fonction en escalier au sens retenu ici. Il faut pouvoir décrire ses morceaux avec une subdivision finie.
L'aire est signée. Une marche de hauteur négative apporte une contribution négative à l'intégrale. Pour obtenir une aire géométrique, il faut intégrer la valeur absolue de la fonction. Dans l'exemple, toutes les hauteurs sont positives, donc les deux lectures donnent 16.
L'approximation n'est pas automatique. Une fonction en escalier peut approcher une fonction plus générale, mais la qualité dépend des hauteurs et de la subdivision choisies. Il faut préciser le critère d'erreur et vérifier qu'il diminue.
Pour aller plus loin
La fonction constante permet d'étudier la marche unique, cas le plus simple de la notion.
La Subdivision d'un segment précise comment une suite finie de coupures organise l'intervalle en tranches.
L'espace vectoriel éclaire pourquoi les sommes et les multiples de fonctions en escalier restent dans la même famille.
La fonction réglée prolonge l'étude vers les fonctions obtenues comme limites uniformes de fonctions en escalier.
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