fonction de Haar

Imaginez une bande allant de 0 à 1. On la coupe en deux, puis chaque moitié peut être recoupée pour observer des détails plus fins. Sur chaque morceau, une fonction de Haar garde une valeur constante, souvent 1, 0 ou −1.

Ces paliers séparent les zones et les échelles. Deux fonctions sont dites orthogonales lorsque leur recouvrement signé s'annule sur tout l'intervalle. Cette organisation prépare l'idée centrale des ondelettes : regarder un même objet à plusieurs résolutions.

Dans la convention normalisée utilisée ici, la famille de Haar contient la fonction constante égale à 1 et des fonctions constantes par morceaux rangées par niveaux de résolution. Pour préparer le calcul de l'exemple, on considère aussi deux fonctions auxiliaires : l'une vaut 1 sur la moitié gauche et 0 sur la moitié droite ; l'autre vaut 0 sur la moitié gauche et −1 sur la moitié droite. Ces deux fonctions indicatrices signées ne sont pas elles-mêmes les ondelettes de Haar normalisées.

Pour deux fonctions nommées f et g, l'orthogonalité signifie que leur produit a une intégrale nulle sur [0, 1] : ${\int }_0^{1}f(x)g(x)dx=0\backslash int\_0^1\; f(x)g(x)\backslash ,dx=0$. Cette condition dépend de l'intégrale, et non de l'absence de valeurs communes. Une différence en un nombre fini de points, notamment en 1/2, ne change pas cette intégrale.

Pour construire les ondelettes de Haar, on subdivise chaque intervalle dyadique en deux moitiés. La fonction associée est positive sur la moitié gauche, négative avec la même amplitude sur la moitié droite et nulle en dehors de cet intervalle. L'amplitude choisie est l'inverse de la racine carrée de la longueur de l'intervalle : la fonction a ainsi une norme 1 et une intégrale nulle. Cette construction localisée, répétée à chaque résolution, produit la famille orthonormale ; elle ne consiste pas à ajouter l'opposé exact de chaque fonction.

La structure repose sur quatre éléments. Le support est l'intervalle [0, 1]. Les niveaux indiquent la finesse du découpage. Les intervalles sont les morceaux sur lesquels chaque fonction reste constante. Enfin, les valeurs 1, 0 et −1 codent une présence, une absence ou un signe opposé.

Un niveau plus fin dépend du précédent, car ses intervalles proviennent de la subdivision des morceaux existants. La valeur d'une fonction dépend ensuite du sous-intervalle considéré. Le tracé en escalier n'est qu'une représentation : ce qui définit la fonction, ce sont son support, ses intervalles et les valeurs qui leur sont attribuées. Ces données suffisent à calculer un produit scalaire et à tester l'orthogonalité.

Considérons les deux fonctions auxiliaires non normalisées introduites dans la définition. La fonction f vaut 1 sur [0, 1/2] et 0 sur (1/2, 1]. La fonction g vaut 0 sur [0, 1/2) et −1 sur [1/2, 1]. La figure rend visibles leurs paliers et leur seul point de recouvrement éventuel. Leur calcul n'est pas celui de deux ondelettes de Haar normalisées : il prépare la méthode qui consiste à découper l'intégrale sur les intervalles de constance pour contrôler ensuite l'orthogonalité des fonctions de la famille de Haar.

1. Sur [0, 1/2), le produit de f par g vaut 1 × 0 = 0.
2. Sur (1/2, 1], ce produit vaut 0 × (−1) = 0.
3. Au point 1/2, le produit vaut −1, mais un point isolé a une intégrale nulle.
4. On additionne les contributions des deux demi-intervalles : ${\int }_0^{1}f(x)g(x)dx=0\backslash int\_0^1\; f(x)g(x)\backslash ,dx=0$.

Le produit scalaire est donc exactement nul : f et g sont orthogonales pour l'intégrale sur [0, 1]. Le contrôle est immédiat en refaisant le produit sur chaque intervalle où les deux fonctions sont constantes.

En analyse du signal, un découpage de Haar compare des moyennes sur des zones voisines. Il convient lorsque des ruptures nettes et des paliers comptent davantage que des variations très lisses. Pour un signal régulier, une ondelette plus douce peut mieux préserver la continuité.

En compression, on conserve les coefficients qui portent les contrastes les plus marqués et l'on réduit ceux qui contribuent peu. Le choix se juge en reconstruisant le signal : si les marches artificielles deviennent visibles, une autre base ou davantage de coefficients est préférable.

Pour vérifier une orthogonalité, on repère d'abord les intervalles de constance, puis on intègre le produit morceau par morceau. Cette méthode est plus fiable qu'une simple lecture du dessin, surtout lorsque deux tracés se touchent en un point.

Une fonction de Haar n'est pas la mesure de Haar. La première est une fonction constante par morceaux sur [0, 1] dans le cadre présenté ici ; la seconde porte sur la mesure d'ensembles. Le nom de Haar ne suffit donc pas à identifier le même objet.

Il faut aussi distinguer une fonction isolée d'une ondelette et d'une base complète d'ondelettes. Une fonction est un seul élément ; une base est une famille permettant une décomposition. La présence d'un tracé en paliers ne prouve pas, à elle seule, que toute une famille forme une base.

Point de coupure. À x = 1/2, les intervalles fermés de la description peuvent attribuer simultanément 1 à la première fonction et −1 à la seconde. Cela ne change pas leur intégrale ni leur orthogonalité, car un point isolé est de mesure nulle. Il faut néanmoins fixer la convention si l'on demande la valeur ponctuelle.

Fonctions opposées. Si une fonction h est non nulle et que la suivante vaut exactement −h, leur produit scalaire vaut l'opposé du carré de la norme de h, et non zéro : $⟨h,-h⟩=-\parallel h{\parallel }^2\backslash langle\; h,-h\backslash rangle=-\backslash lVert\; h\backslash rVert^2$. La récurrence littérale donnée dans la source ne produit donc pas, à elle seule, une famille orthogonale. Il faut vérifier la convention ou la construction normalisée employée.

Nombre d'éléments. Un premier niveau à une fonction et un deuxième à deux fonctions suivent le comptage 2^k−1, pas 2^k. L'annonce de 2^k fonctions au niveau k signale donc un décalage d'indexation. Avant tout calcul, il faut préciser si le niveau initial est numéroté 0 ou 1.

L'article ondelette replace la construction de Haar dans la famille des outils qui analysent un signal à plusieurs échelles.

La fiche mesure de Haar éclaire un autre objet associé au même mathématicien et évite de confondre fonction, ondelette et mesure.