ondelette

Imaginez une note isolée dans un enregistrement. Elle survient à un instant précis, dure un certain temps et possède une hauteur reconnaissable. Une ondelette joue un rôle comparable avec un signal : c’est une petite oscillation localisée, décrite à la fois par le moment où elle apparaît et par son contenu fréquentiel.

Ses parties positives et négatives se compensent : sa moyenne est nulle. Cette propriété évite de la confondre avec une simple bosse toujours positive. Des ondelettes servent ensuite de briques à une analyse qui conserve ensemble les repères de temps et de fréquence.

Une ondelette, ou wavelet, est une oscillation de moyenne nulle concentrée autour d’un intervalle de temps et d’une zone de fréquences. Si la fonction qui décrit l’oscillation est notée ψ et si la variable t représente le temps, la condition de moyenne nulle s’écrit, lorsque cette intégrale existe : ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\psi (t)dt=0\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\; \backslash psi(t)\backslash ,dt=0$. Les contributions positives et négatives se compensent donc sur l’ensemble du signal.

La localisation temporelle indique quand l’oscillation se manifeste et pendant combien de temps elle reste significative. La localisation fréquentielle décrit les fréquences qu’elle contient de façon notable. Pour décrire intuitivement une ondelette localisée, on peut ainsi préciser son instant, sa durée et son contenu fréquentiel, sans que ces paramètres constituent une caractérisation exhaustive. Selon la construction, elle intervient comme fonction d’analyse dans une famille organisée en base ou en trame pour la transformée en ondelettes, une analyse temps-fréquence employée en traitement du signal, en compression d’images et en analyse numérique.

Considérons une oscillation simplifiée décrite sur un axe de temps t, exprimé en unités arbitraires.
Données : elle vaut 0 avant t = 3 ; +1 de t = 3 inclus à t = 4 exclu ; −1 de t = 4 inclus à t = 5 exclu ; puis 0 à partir de t = 5.

La fonction ψ qui représente cet exemple est :

1. L’oscillation commence à t = 3 et cesse à t = 5 : sa durée est donc exactement 5 − 3 = 2 unités.
2. L’aire positive vaut 1 × 1 = 1. L’aire négative vaut (−1) × 1 = −1.
3. Leur somme vaut exactement 1 + (−1) = 0. La moyenne est donc nulle sur l’intervalle observé.

Le contrôle est immédiat : les deux paliers ont la même durée et des amplitudes opposées. Cet exemple rend visibles deux traits d’une ondelette : l’oscillation est localisée dans le temps et ses contributions se compensent.

En traitement du signal, la transformée en ondelettes est choisie lorsqu’il faut relier un contenu fréquentiel au moment où il apparaît. Le geste consiste à analyser le signal avec des ondelettes localisées, plutôt qu’à perdre le repère temporel recherché.

En compression d’images, une famille d’ondelettes adaptée fournit, selon la méthode, une base ou une trame de transformation. Cette approche est pertinente lorsque l’objectif est de représenter l’image au moyen de cette décomposition, plutôt que de conserver seulement sa description initiale.

En analyse numérique, elles sont également utilisées comme fonctions de base. Le critère de choix reste le besoin d’une représentation localisée ; si cette localisation n’apporte aucune information utile, une autre base peut être préférable.

Ondelette et transformée en ondelettes. L’ondelette est l’oscillation localisée de moyenne nulle. La transformée est l’outil d’analyse qui emploie des ondelettes comme fonctions d’analyse, organisées selon les cas en base ou en trame. Dans l’exemple guidé, ψ est une ondelette simplifiée ; l’opération d’analyse d’un autre signal avec cette fonction relèverait de la transformée.

Ondelette et oscillation non localisée. Une oscillation qui se prolonge sans intervalle temporel identifiable ne satisfait pas la localisation décrite ici. Le test consiste à demander si l’on peut caractériser à la fois son instant d’émission, sa durée et son contenu fréquentiel.

Une bosse positive ne suffit pas. Même si elle est brève, une fonction toujours positive possède une moyenne positive, sauf si elle est nulle partout. Le symptôme est l’absence de partie négative compensatrice ; il faut vérifier la moyenne nulle avant de parler d’ondelette.

Localisée ne signifie pas forcément coupée net. L’exemple guidé vaut exactement zéro hors de l’intervalle de durée 2, mais cet aspect appartient à l’exemple. Pour une autre ondelette, il faut examiner où l’oscillation reste significative au lieu d’exiger les mêmes frontières abruptes.

Temps et fréquence doivent rester associés. Donner seulement une durée ou seulement une fréquence efface une partie de la caractérisation. Il faut conserver ensemble l’instant d’émission, la durée et le contenu fréquentiel, avec une convention cohérente pour les mesurer. Par exemple, pour comparer deux ondelettes qui s’atténuent progressivement, on peut fixer le même seuil de significativité et mesurer pour chacune la durée pendant laquelle elle le dépasse ; changer ce seuil peut changer la durée annoncée.

Le glossaire signal précise l’objet auquel l’analyse par ondelettes s’applique.

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