Retard (théorème du)

Imaginez un signal qui démarre maintenant, puis le même signal lancé trois secondes plus tard. Sa forme ne change pas : tout son déroulement glisse simplement vers la droite sur l’axe du temps.

Le théorème du retard décrit l’effet de ce glissement après une transformée. Dans le domaine de Laplace, le délai devient un facteur exponentiel. Dans le domaine de Fourier, il devient un changement de phase, sans modifier l’amplitude des fréquences.

Le théorème du retard relie une translation dans le temps à une multiplication dans le domaine transformé. Soit f une fonction causale, c’est-à-dire nulle avant l’instant 0, et soit F sa transformée de Laplace unilatérale. Pour un retard a strictement positif, la version retardée doit elle aussi rester nulle avant son départ : elle s’écrit avec l’échelon unité u sous la forme $u(t-a)f(t-a)u(t-a)f(t-a)$. Sa transformée vaut alors $e^{-as}F(s)e^\{-as\}F(s)$, dans le domaine où F existe.

Pour la transformée de Fourier définie avec le noyau $e^{-i\omega t}e^\{-i\backslash omega\; t\}$, si la transformée de f est notée $\widehat{f}(\omega )\backslash widehat\; f(\backslash omega)$, celle de f(t − a) est $e^{-i\omega a}\widehat{f}(\omega )e^\{-i\backslash omega\; a\}\backslash widehat\; f(\backslash omega)$. Le facteur a un module égal à 1 : il modifie la phase, mais pas le module du spectre. Avec la convention de Fourier de signe opposé, le signe de l’exposant est lui aussi opposé.

Si F(s) est la transformée de Laplace d’une fonction causale f(t), et si a > 0 est le retard, alors l’échelon unité u impose un départ à l’instant a et l’on a :

Autrement dit, retarder de a unités de temps revient à multiplier la transformée par le facteur exponentiel $e^{-as}e^\{-as\}$.

Dans le cadre de Laplace unilatéral, la fonction f doit admettre une transformée, le retard a doit être positif et la copie retardée doit être annulée pour t < a par l’échelon u(t − a). Le résultat est valable pour les valeurs complexes de s appartenant au domaine de convergence de la transformée retardée.

Si l’on écrit seulement f(t − a) sur t ≥ 0, cette expression peut contenir des valeurs de f prises à des temps négatifs et la formule n’est plus garantie. Il faut alors préciser le prolongement de f ou employer u(t − a)f(t − a). Pour Fourier, la fonction doit relever du cadre où la transformée choisie est définie, par exemple comme fonction intégrable.

On considère le signal causal f(t) = e^−2t pour t ≥ 0, nul avant 0. Sa transformée de Laplace est F(s) = 1/(s + 2). On retarde ce signal de a = 3 secondes.

1. La copie retardée est nulle avant 3 secondes.
2. À partir de 3 secondes, elle vaut e^−2(t−3).
3. Le théorème impose le facteur e^−3s.
4. La transformée retardée est donc ${\displaystyle \frac{e^{-3s}}{s+2}}\backslash dfrac\{e^\{-3s\}\}\{s+2\}$.

Un contrôle direct confirme le résultat : en intégrant seulement à partir de t = 3 puis en posant x = t − 3, le facteur e^−3s sort de l’intégrale et il reste 1/(s + 2). La figure matérialise le même signal, déplacé exactement de 3 secondes sans déformation.

En automatique, un délai de transport ou de transmission apparaît comme un facteur exponentiel dans la fonction de transfert. Lorsque ce délai est significatif devant le temps de réponse du système, il faut le conserver plutôt que l’ignorer.

En traitement du signal, la transformée de Fourier révèle un décalage temporel par une phase qui varie avec la fréquence. Pour comparer deux signaux de même forme mais décalés, la phase porte donc l’information que le module seul ne montre pas.

Dans un calcul de Laplace, le facteur e^−as signale immédiatement un retard de a unités de temps. Si le signal commence à l’instant a, l’échelon u(t − a) reste indispensable pour écrire correctement son support temporel.

Retard et changement d’échelle temporelle. Un retard remplace t par t − a et conserve la forme du signal. Une dilatation remplace t par kt et change sa durée. Un pic déplacé de 3 secondes relève du retard ; un pic deux fois plus large relève d’un changement d’échelle.

Retard et multiplication par une exponentielle dans le temps. Retarder le signal produit un facteur exponentiel dans le domaine de Laplace. Multiplier directement f(t) par une exponentielle déplace au contraire la variable s de sa transformée ; le test consiste à regarder si la forme temporelle a été déplacée ou pondérée.

Oubli de l’échelon. Pour a = 3 secondes, le signal retardé doit être nul jusqu’à t = 3. Une expression non nulle avant cet instant révèle qu’il manque u(t − 3) ou que le cadre bilatéral n’a pas été précisé.

Signe de Fourier. Le facteur de phase dépend de la convention de transformée. Avec le noyau e^−iωt, un retard donne e^−iωa ; avec le noyau e^+iωt, il donne e^+iωa. Il faut vérifier la convention avant de conclure sur le signe de la phase.

Retard nul ou avance. À a = 0, le facteur vaut 1 et le signal est inchangé. Si a < 0, il s’agit d’une avance, non du cas annoncé par le théorème sous sa forme causale usuelle ; le support et les données initiales doivent alors être réexaminés.

La Transformée de Laplace replace le facteur de retard dans le calcul des systèmes causaux et des équations différentielles.

La Transformée de Fourier développe l’interprétation du décalage temporel comme phase dépendant de la fréquence.

La convolution montre comment les translations interviennent dans la réponse d’un système linéaire à un signal.