fonction de transfert

Imaginez un thermostat : une consigne change, puis la température réagit avec un certain retard et une certaine amplitude. La fonction de transfert décrit ce passage de l’entrée à la sortie pour un système linéaire dont les règles ne changent pas avec le temps. Elle agit comme une fiche d’identité dynamique : elle indique quelles variations sont amplifiées, atténuées ou retardées. Ses pôles renseignent sur la rapidité et la stabilité de la réaction ; ses zéros modifient la forme de cette réaction.

Une fonction de transfert décrit la relation entrée-sortie d’un système linéaire invariant dans le temps. On note u(t) le signal d’entrée, y(t) le signal de sortie, U(s) et Y(s) leurs transformées de Laplace, et s la variable complexe de Laplace. Lorsque les conditions initiales sont nulles, la fonction H est définie par $H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}H(s)=\backslash frac\{Y(s)\}\{U(s)\}$, pour les valeurs de s où ce quotient a un sens.

Pour un modèle décrit par des équations différentielles linéaires à coefficients constants, H(s) est souvent une fraction rationnelle. Après suppression des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, les racines du dénominateur de cette fraction réduite sont ses pôles ; elles gouvernent les modes propres, donc la dynamique et, avec les hypothèses usuelles de causalité, la stabilité entrée-sortie. Les racines du numérateur réduit sont ses zéros ; elles peuvent supprimer ou remodeler certaines composantes de la réponse. Une simplification algébrique pôle-zéro doit être interprétée avec prudence, car elle peut masquer une dynamique interne.

La réponse impulsionnelle, notée h(t), est la sortie provoquée par une impulsion idéale sous conditions initiales nulles. Sa transformée de Laplace vérifie $H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}H(s)=\backslash mathcal\{L\}\backslash \{h(t)\backslash \}$. La fonction de transfert caractérise ainsi le comportement entrée-sortie, mais elle ne décrit pas à elle seule l’état interne ni une réponse due à des conditions initiales non nulles.

Une fonction de transfert réunit cinq éléments. L’entrée U(s) est l’excitation transformée ; la sortie Y(s) est la réponse transformée. Leur quotient définit H(s) sous conditions initiales nulles. Dans une écriture rationnelle, le numérateur porte les zéros et le dénominateur porte les pôles. Enfin, un éventuel gain multiplicatif fixe l’échelle globale de la sortie.

Lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, les pôles sont les racines du dénominateur et déterminent les modes temporels ; les zéros sont les racines du numérateur et modulent la manière dont ces modes apparaissent entre l’entrée et la sortie. Numérateur, dénominateur et gain suffisent à reconstruire la fraction rationnelle et à calculer une réponse sous les hypothèses du modèle. Le tracé d’un diagramme ou le choix des symboles ne définit pas l’objet : seule compte la relation algébrique obtenue pour le couple entrée-sortie choisi.

Considérons un système du premier ordre soumis à un échelon unitaire. Son gain statique vaut 2, sa constante de temps vaut 0,5 seconde et ses conditions initiales sont nulles. L’entrée vaut donc 1 à partir de l’instant zéro.

Données. Le gain est K = 2 ; la constante de temps est τ = 0,5 s ; la transformée de l’entrée est $U(s)=\frac{1}{s}U(s)=\backslash frac\{1\}\{s\}$.

1. La fonction de transfert du premier ordre est $H(s)=\frac{2}{\mathrm{0,5}s+1}H(s)=\backslash frac\{2\}\{0\{,\}5s+1\}$. Son unique pôle vaut −2 s⁻¹ et elle ne possède aucun zéro fini.

2. La sortie transformée est le produit de la fonction de transfert par l’entrée : $Y(s)=H(s)U(s)=\frac{2}{s(\mathrm{0,5}s+1)}Y(s)=H(s)U(s)=\backslash frac\{2\}\{s(0\{,\}5s+1)\}$.

3. Le retour au temps donne, pour tout temps t positif ou nul, $y(t)=2(1-e^{-2t})y(t)=2(1-e^\{-2t\})$. La sortie part de 0 et tend vers la valeur finale 2.

4. Après une constante de temps, soit à t = 0,5 s, la sortie vaut $y(\mathrm{0,5})=2(1-e^{-1})\approx \mathrm{1,264}y(0\{,\}5)=2(1-e^\{-1\})\backslash approx1\{,\}264$. La courbe de réponse rend visible cette montée exponentielle et son approche de la valeur finale.

Le contrôle est refaisable : 1,264 représente environ 63,2 % de 2, proportion attendue après une constante de temps pour un premier ordre. Le pôle négatif produit une exponentielle décroissante, ce qui confirme ici une réponse stable.

En automatique, l’ingénieur examine les pôles pour prévoir rapidité, oscillations et stabilité avant de régler un correcteur. Si le procédé est non linéaire sur une large plage, il préfère un modèle non linéaire ou plusieurs linéarisations locales.

En électronique, la fonction de transfert relie une tension d’entrée à une tension de sortie. Sa valeur sur l’axe des fréquences indique quelles fréquences un filtre laisse passer ou atténue ; une simulation temporelle est préférable lorsque la saturation ou l’écrêtage devient visible.

En traitement du signal et en communications, elle décrit l’effet d’un canal ou d’un filtre linéaire sur le spectre. Lorsque les caractéristiques changent pendant l’observation, un modèle variant dans le temps remplace la fonction de transfert LTI unique.

Fonction de transfert et réponse impulsionnelle. Elles codent le même comportement LTI sous deux représentations, mais ne sont pas le même objet : la première dépend de s, la seconde du temps. Une transformée de Laplace permet de passer de h(t) à H(s).

Fonction de transfert et réponse fréquentielle. La réponse fréquentielle s’obtient, lorsque cela est défini, en évaluant la fonction de transfert sur l’axe imaginaire. Une courbe gain-phase mesurée fréquence par fréquence relève de la réponse fréquentielle, même si elle sert ensuite à identifier H.

Fonction de transfert et représentation d’état. Deux réalisations d’état différentes peuvent avoir la même fonction de transfert. Si la question porte sur des variables internes, leur commandabilité ou leur observabilité, la représentation d’état apporte l’information que le seul quotient entrée-sortie ne contient pas.

Conditions initiales non nulles. Le quotient Y(s)/U(s) contient alors aussi la réponse libre et peut dépendre de l’état initial. Il faut séparer la réponse due à l’entrée de celle due aux conditions initiales, ou employer une représentation d’état.

Entrée nulle. Si U(s) est identiquement nulle, le quotient direct est indéfini. La fonction de transfert se déduit du modèle ou de la réponse impulsionnelle, pas d’une division par ce signal particulier.

Annulation pôle-zéro. Une simplification exacte dans la fraction peut rendre invisible un mode interne instable. Le comportement entrée-sortie minimal paraît alors stable, tandis qu’une réalisation non minimale ne l’est pas intérieurement ; il faut examiner la réalisation d’état avant de conclure à la stabilité interne.

Frontière de stabilité. Pour un système causal et minimal en temps continu dont la fonction de transfert est rationnelle et propre, la stabilité entrée-sortie exige des pôles de partie réelle strictement négative. Un pôle de partie réelle nulle se trouve au seuil, pas dans le domaine stable ; il faut vérifier le plan des pôles avant d’interpréter une réponse qui semble seulement peu amortie.

La Transformée de Laplace explique le passage du temps à la variable complexe qui rend possible l’écriture et le calcul d’une fonction de transfert.