Transformée en Z

Imaginez une suite de nombres enregistrés à intervalles réguliers : 1, puis 1/2, puis 1/4, et ainsi de suite. La transformée en Z rassemble toute cette suite dans une fonction d'une variable complexe nommée z. Chaque terme y reçoit un poids qui dépend de sa position.

Ce changement de point de vue remplace notamment des décalages dans la suite par des multiplications. Une récurrence peut alors devenir une équation algébrique, plus commode à résoudre.

Soit une suite bilatère de nombres complexes, dont le terme d'indice entier n est noté x_n. Sa transformée en Z est la fonction de la variable complexe z définie, lorsque la série converge, par :

L'ensemble des valeurs de z pour lesquelles cette somme converge est le domaine de convergence. Il fait partie du résultat : une même expression algébrique peut correspondre à des suites différentes selon ce domaine. Pour une suite causale, nulle lorsque n est négatif, la somme commence à n = 0. Une transformée unilatère, elle aussi sommée à partir de 0, est parfois employée pour incorporer des conditions initiales; cette convention doit être annoncée. La transformée inverse reconstitue la suite lorsque l'expression et son domaine de convergence sont connus.

Considérons la suite causale x_n = (1/2)ⁿ pour n ≥ 0, et x_n = 0 pour n < 0. Ses premiers termes sont 1, 1/2, 1/4 et 1/8.

1. Remplaçons chaque terme par son terme pondé :
$X(z)=1+\frac{1}{2}{z}^{-1}+\frac{1}{4}{z}^{-2}+\frac{1}{8}{z}^{-3}+\cdots X(z)=1+\backslash frac12z^\{-1\}+\backslash frac14z^\{-2\}+\backslash frac18z^\{-3\}+\backslash cdots$

2. Cette série est géométrique, de raison $\frac{1}{2}{z}^{-1}\backslash frac12z^\{-1\}$. Elle converge exactement lorsque son module est inférieur à 1, donc lorsque |z| > 1/2.

3. La somme vaut alors :
$X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}X(z)=\backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac12z^\{-1\}\}=\backslash frac\{z\}\{z-\backslash frac12\}$

Le résultat est donc la fonction z/(z − 1/2), accompagnée du domaine |z| > 1/2. Pour contrôler, développer 1/(1 − (1/2)z⁻¹) redonne successivement les coefficients 1, 1/2, 1/4 et 1/8.

En traitement numérique du signal, la transformée en Z décrit les filtres à temps discret. Les zéros, les pôles et le domaine de convergence aident à lire leur comportement. Pour une réponse en fréquence, on évalue la transformée sur le cercle unité seulement si celui-ci appartient au domaine de convergence.

Pour résoudre une équation aux différences linéaire, on transforme les décalages de la suite, on résout l'équation algébrique obtenue, puis on applique la transformée inverse. La transformée unilatère est souvent préférée lorsque les valeurs initiales doivent apparaître explicitement.

Pour une suite finie de données, un calcul numérique direct ou une transformée de Fourier discrète convient mieux si l'objectif est seulement d'obtenir un spectre échantillonné. La transformée en Z devient précieuse quand il faut conserver une expression algébrique et analyser sa convergence.

Transformée de Fourier à temps discret. Elle s'obtient en évaluant la transformée en Z sur le cercle |z| = 1, lorsque ce cercle appartient au domaine de convergence. Pour la suite causale (1/2)ⁿ, cette évaluation existe; pour une suite dont le domaine exclut le cercle unité, la transformée en Z peut exister sans transformée de Fourier correspondante.

Transformée de Laplace. Elle porte habituellement sur une fonction du temps continu et utilise une intégrale. La transformée en Z porte sur une suite indexée par des entiers et utilise une somme. Elle est donc adaptée à l'analyse des suites à temps discret, tandis que la transformée de Laplace reste pertinente pour un modèle continu ou certains traitements de signaux échantillonnés.

L'expression rationnelle ne suffit pas. La fonction z/(z − 1/2) avec |z| > 1/2 représente la suite causale de l'exemple. Avec 0 < |z| < 1/2, la même fraction se développe suivant les puissances positives de z et correspond à une suite à indices négatifs. Il faut donc toujours conserver le domaine de convergence.

Un pôle est exclu. Dans l'exemple, z = 1/2 annule le dénominateur et la série ne converge pas. La frontière |z| = 1/2 est elle aussi exclue, car la raison de la série géométrique y a un module égal à 1, et non strictement inférieur à 1.

Bilatérale et unilatérale ne se manipulent pas sans convention. Pour un décalage, les termes initiaux n'apparaissent pas de la même manière. Avant de transformer une récurrence, il faut indiquer la somme employée et traiter explicitement les conditions initiales.

La Transformée de Laplace permet de comparer la version continue du même changement de point de vue : une intégrale remplace alors la somme sur les indices entiers.

La notion de série entière éclaire le rôle de la convergence : la transformée en Z est une série de Laurent, avec des puissances positives et négatives possibles.