Transformée de Laplace

Imaginez la mise en marche d'un système dont la réponse évolue au fil du temps. Au lieu de suivre directement chaque variation, la transformée de Laplace rassemble toute l'évolution dans une nouvelle fonction. Avec la transformée unilatérale, la dérivée de y devient sY(s) moins la valeur initiale y(0) : elle se traduit donc par une multiplication et un terme de condition initiale, ce qui simplifie souvent l'équation à résoudre.

Après le calcul algébrique, la transformée inverse ramène le résultat au temps. Ce changement de point de vue est utile pour étudier des systèmes linéaires, notamment en ingénierie et en physique.

Soit une fonction du temps notée f, définie pour les temps réels positifs. Sa transformée de Laplace est une fonction notée F de la variable complexe s. Lorsqu'elle converge, elle est donnée par :

Le facteur exponentiel atténue les valeurs prises aux temps lointains. Une condition suffisante classique est que f soit localement intégrable et ne croisse pas plus vite qu'une exponentielle. L'intégrale converge alors dans un demi-plan situé à droite d'une abscisse de convergence ; cette région fait partie de la définition utile de la transformée. Sous les hypothèses permettant de transformer une dérivée, une équation différentielle linéaire devient une équation algébrique en s. Sous des hypothèses appropriées d'inversion et d'unicité, la transformée inverse permet ensuite de retrouver la fonction du temps, éventuellement presque partout. Selon le contexte, on emploie la version unilatérale, intégrée à partir de zéro, ou la version bilatérale, intégrée sur tous les réels.

On rencontre la transformée de Laplace lorsqu'un phénomène commence à un instant choisi et qu'une grandeur varie ensuite : démarrage d'un circuit, mouvement amorti ou réponse d'un système à une commande. Plusieurs marqueurs la signalent dans un calcul : une variable temporelle positive, des conditions initiales, une équation différentielle linéaire, la lettre complexe s et une fonction écrite comme transformée du signal. Ce langage porte à la fois l'évolution temporelle et la manière dont le système réagit aux différentes composantes exponentielles.

La grandeur à lire est la valeur de la transformée F au point complexe s, mais cette valeur n'a de sens que dans sa région de convergence.

1. Repérez si la convention est unilatérale, de zéro à l'infini, ou bilatérale, sur tous les temps. 2. Identifiez la fonction temporelle et les conditions initiales. 3. Déterminez le demi-plan où l'intégrale converge. 4. Manipulez l'expression algébrique, puis contrôlez que son inverse respecte l'équation et les données initiales.

Une expression rationnelle peut sembler valable pour toute valeur de s. Ses pôles ne suffisent pourtant pas à décrire la transformée : la région de convergence compte aussi. Le bon réflexe est donc de conserver ensemble la formule et son domaine de validité.

Un système part de zéro et tend vers la valeur 1. Sa réponse temporelle, notée y, obéit à une équation différentielle. Les données sont : un temps t positif, l'équation y′ + 2y = 2 et la condition initiale y(0) = 0. La transformée de y est notée Y.

1. La dérivée transformée vaut sY(s) − y(0). Avec la condition initiale, l'équation devient :

2. On isole la fonction transformée, puis on la décompose :

3. La transformée inverse donne la réponse exacte :

Le contrôle est direct : à t = 0, la réponse vaut 0 ; sa dérivée est 2e^−2t, donc y′ + 2y = 2. La courbe associée rend visible son départ à 0 et son approche de 1.

Pour résoudre une équation différentielle linéaire avec des conditions initiales, on transforme l'équation, on effectue le calcul algébrique, puis on revient au temps. Une résolution directe reste préférable lorsque l'équation est élémentaire et que le passage par une table de transformées alourdirait le calcul.

Pour étudier un système linéaire soumis à une entrée, on relie la transformée de la sortie à celle de l'entrée. Cette approche devient particulièrement utile quand les dérivées, les retards ou les commutations rendent l'écriture temporelle encombrante. Une intégration numérique dans le temps est une meilleure alternative si le modèle est non linéaire ou varie avec le temps.

Pour vérifier un résultat, on applique la transformée inverse et on remplace la fonction obtenue dans l'équation d'origine. Le respect simultané de l'équation et des conditions initiales fournit un contrôle exact. Une comparaison numérique est utile en complément lorsque la fonction obtenue ne se simplifie pas, mais elle dépend alors de la précision choisie.

Transformée de Fourier. Elle analyse une fonction à l'aide d'oscillations et s'intègre habituellement sur tous les temps, tandis que la transformée de Laplace unilatérale incorpore une atténuation exponentielle à partir de zéro. Pour une évolution causale avec conditions initiales, la convention de Laplace est généralement la plus directe.

Transformée inverse de Laplace. La transformée fait passer du temps à la variable complexe s ; l'inverse accomplit le trajet opposé. Si le résultat recherché est la fonction temporelle y(t) à partir de Y(s), c'est l'opération inverse qu'il faut effectuer.

Convergence absente. Une fonction peut croître trop vite pour que l'atténuation exponentielle compense sa croissance. Pour la fonction f(t) = e^t², l'intégrale diverge pour tout nombre complexe s : il n'existe alors aucune transformée de Laplace ordinaire. Il faut changer de cadre ou traiter l'objet comme une distribution lorsque cela est justifié.

Formule sans région de convergence. Deux écritures algébriques identiques ne portent pas nécessairement la même information si leurs domaines de convergence diffèrent. Il faut conserver le demi-plan de convergence et exclure les pôles au lieu de lire seulement la fraction rationnelle.

Valeur à l'origine. Pour une fonction ordinaire présentant un saut à l'instant zéro, modifier la seule valeur attribuée au point zéro ne change pas l'intégrale de Laplace. Une impulsion à l'origine est d'une autre nature : elle relève des distributions, et sa prise en compte dépend de la convention d'intégration à partir de 0, de 0⁻ ou de 0⁺. La convention sur les valeurs initiales doit aussi être annoncée avant d'utiliser les règles sur les dérivées.

Inversion formelle. Une décomposition en fractions simples ne garantit pas à elle seule l'existence d'une fonction temporelle ordinaire. Il faut vérifier les hypothèses de convergence et la région choisie avant d'appliquer une table d'inversion.

La convolution éclaire le produit de deux transformées et le calcul de la réponse d'un système à une entrée.

La transformée de Fourier permet de comparer l'analyse fréquentielle à l'atténuation complexe propre à la transformée de Laplace.

L'article Les multiples fonctions de Laplace replace cette transformation parmi les différents objets mathématiques associés au nom de Laplace.