Bromvitch (formule d'inversion de)

La transformée de Laplace remplace une fonction du temps par une expression F(s) dans le plan complexe. La formule d'inversion de Bromwich effectue le trajet inverse : elle additionne, le long d'une droite verticale, les contributions de F(s) multipliées par e^st. Le résultat retrouvé est la valeur f(t).

La droite ne doit pas traverser les singularités de F, c'est-à-dire les points où F n'est pas régulière. Il faut choisir une ligne qui les évite et qui se trouve dans une région de convergence admissible, généralement à droite de l'abscisse de convergence ; la hauteur infinie de la ligne est comprise comme une limite d'intégrales finies.

Notons f(t) la fonction du temps, F(s) sa transformée de Laplace, s la variable complexe et c la partie réelle de la droite d'intégration. Pour une fonction f définie sur les temps positifs, sa transformée de Laplace est F(s) = ∫₀^∞ e^−st f(t) dt, lorsque cette intégrale converge. La formule de Bromwich cherche alors à retrouver f à partir de F. Si c est choisi à droite de la frontière de convergence et des singularités pertinentes de F, elle s'écrit : $f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\lim }_{T\to \mathrm{\infty }}{\int }_{c-iT}^{c+iT}{e}^{st}F(s)dsf(t)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash lim\_\{T\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_\{c-iT\}^\{c+iT\}e^\{st\}F(s)\backslash ,ds$.

Ici, s est la variable complexe, t est le temps, i est le nombre complexe dont le carré vaut −1, et c est la partie réelle commune des points de la droite d'intégration. La convergence et l'identité avec f dépendent des hypothèses de régularité et de croissance imposées à f et à F.

La règle fondamentale est la suivante : pour t > 0, on intègre e^stF(s) sur la verticale s = c + iω, avec ω réel et c placé à droite des singularités de F. En posant ds = i dω, la même écriture devient : $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\lim }_{T\to \mathrm{\infty }}{\int }_{-T}^T{e}^{(c+i\omega )t}F(c+i\omega )d\omega f(t)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\}\backslash lim\_\{T\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_\{-T\}^\{T\}e^\{(c+i\backslash omega)t\}F(c+i\backslash omega)\backslash ,d\backslash omega$.

Lorsque le contour peut être fermé dans une région où l'intégrale supplémentaire disparaît, le théorème des résidus transforme cette intégrale en une somme des résidus des pôles enfermés. Cette méthode de calcul est une conséquence de la formule, pas une nouvelle définition de la transformée de Laplace.

La fonction f doit généralement être localement intégrable sur les temps positifs et sa croissance doit permettre à sa transformée de Laplace de converger dans un demi-plan Re(s) > a. La droite Re(s) = c est alors choisie avec c > a, dans une région de convergence admissible, en évitant les singularités pertinentes qui en bornent la frontière.

La formule restitue f aux points où les hypothèses d'inversion sont satisfaites ; en présence d'une discontinuité, une convention adaptée peut conduire à la moyenne des limites latérales. Les détails dépendent du théorème utilisé, de la décroissance de F sur les grandes hauteurs et de la manière dont l'intégrale impropre est interprétée.

Prenons f(t) = e^−t pour t ≥ 0. Sa transformée de Laplace est F(s) = 1/(s + 1), et son unique singularité est le pôle s = −1. Choisissons c = 0 : la droite Re(s) = 0 est bien située à droite de ce pôle.

1. La formule de Bromwich demande d'insérer F dans l'intégrale : $f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\lim }_{T\to \mathrm{\infty }}{\int }_{-iT}^{iT}\frac{e^{st}}{s+1}dsf(t)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash lim\_\{T\backslash to\backslash infty\}\backslash int\_\{-iT\}^\{iT\}\backslash frac\{e^\{st\}\}\{s+1\}\backslash ,ds$.

2. Pour t > 0, on ferme le contour vers la gauche. Le contour contient alors le pôle s = −1, et la contribution intégrale du grand demi-cercle gauche tend vers zéro sous une estimation appropriée, par exemple via le lemme de Jordan et les hypothèses correspondantes.

3. Le résidu au pôle s = −1 vaut e^−t, car le facteur s + 1 s'y simplifie. Le théorème des résidus donne donc f(t) = e^−t, ce qui retrouve exactement la fonction de départ.

Pour inverser une transformée simple, commencez par repérer ses pôles et sa frontière de convergence. Choisissez ensuite une verticale Re(s) = c dans une région de convergence admissible, généralement à droite de l'abscisse de convergence et en évitant les singularités pertinentes, puis cherchez une table de transformées ou utilisez les résidus si le contour s'y prête.

Dans les applications numériques, l'intégrale infinie est remplacée par une quadrature sur une hauteur finie T. Le choix de c, de T et du pas de calcul influence l'erreur ; la formule théorique ne garantit donc pas à elle seule un calcul numérique stable.

Transformée et inversion. La transformée de Laplace produit F(s) à partir de f(t), tandis que la formule de Bromwich reconstruit f(t) à partir de F(s). Les facteurs e^−st et e^st correspondent à ces deux directions opposées.

Bromwich et Bromvitch. Bromwich est la graphie internationale du nom et de la formule. Bromvitch est un libellé hérité que cette fiche conserve pour le repérage, mais il ne s'agit pas d'une formule différente.

Transformée de Fourier. Les deux théories utilisent des intégrales complexes, mais la transformée de Laplace comporte le facteur de décroissance e^−st et une région de convergence ; l'inversion de Fourier ne se substitue pas automatiquement à l'inversion de Laplace.

Droite mal placée. Si c passe à gauche d'un pôle de F, la ligne peut quitter la région de convergence et le calcul ne représente plus l'inversion attendue. La condition « à droite » doit être vérifiée avant toute déformation du contour.

Singularités non isolées ou croissance insuffisante. Une coupure ou une singularité essentielle demande un contour et un théorème adaptés ; la simple somme des résidus des pôles ne suffit pas. De même, la disparition du grand arc doit être justifiée, et non supposée.

Valeurs au bord. Une fonction peut avoir la même transformée que des représentants qui diffèrent sur un ensemble négligeable. À un point de saut, l'énoncé exact de l'inversion dépend de la convention de représentation et des hypothèses de régularité.

transformée de Laplace — Revoir la définition, la région de convergence et les propriétés qui rendent possible l'inversion.

théorème des résidus — Comprendre pourquoi une intégrale de contour se réduit parfois aux contributions des singularités isolées.