convolution

Imaginez deux bandes de longueur 1 sur une droite. L'une reste fixe et l'autre glisse. Pour chaque position, on mesure la longueur sur laquelle elles se recouvrent. Cette longueur augmente, atteint 1 quand les bandes coïncident, puis diminue.

La convolution généralise ce geste à deux fonctions. Elle décale l'une d'elles, multiplie les valeurs qui se font face, puis additionne continûment ces produits. Elle indique ainsi, à chaque décalage, combien les deux profils se combinent.

Soient deux fonctions f et g définies sur les nombres réels. Pour un nombre réel a, leur produit de convolution, noté f * g, additionne par intégration les produits entre la valeur f(t) et la valeur de g lue au point décalé a − t.

Cette valeur n'est définie que lorsque l'intégrale converge. Des hypothèses classiques garantissent l'existence dans des cadres précis, mais la seule écriture de la formule ne suffit pas à l'assurer pour deux fonctions arbitraires.

Lorsqu'ils sont définis, les produits de convolution sont commutatifs, associatifs et distributifs par rapport à l'addition. En probabilités, les densités de deux variables aléatoires indépendantes se convoluent pour donner la densité de leur somme. En traitement du signal, cette opération décrit les systèmes linéaires invariants par translation. La transformée de Fourier convertit enfin une convolution en multiplication ordinaire, sous les hypothèses et la convention de normalisation du cadre choisi.

Deux variables aléatoires indépendantes X et Y sont uniformes sur l'intervalle [0, 1]. Leurs densités f et g valent 1 sur [0, 1] et 0 ailleurs. On cherche la densité de leur somme au nombre réel a.

1. Le produit f(t)g(a − t) vaut 1 exactement lorsque t appartient à la fois à [0, 1] et à [a − 1, a]. L'intégrale est donc la longueur de leur intersection.

2. Cette longueur s'écrit $(f\ast g)(a)=\max \text{\hspace{0.17em}⁣}(0,\min (1,a)-\max (0,a-1))(f*g)(a)=\backslash max\backslash !\backslash left(0,\backslash min(1,a)-\backslash max(0,a-1)\backslash right)$. Elle est nulle si les deux intervalles ne se recouvrent pas.

3. En distinguant les positions du décalage, on obtient :
La densité monte donc linéairement de 0 à 1, puis redescend jusqu'à 0.

4. Le résultat est la densité triangulaire de X + Y, portée par [0, 2]. Pour le contrôler, son aire vaut 2 × 1 / 2 = 1, comme doit le faire une densité de probabilité.

En probabilités, on convolue les densités lorsque l'on additionne des variables aléatoires indépendantes. Si l'indépendance manque, les deux densités marginales ne suffisent pas : il faut utiliser leur loi jointe.

En traitement du signal, la sortie d'un système linéaire invariant par translation s'obtient en convoluant l'entrée avec la réponse du système. Si le système change selon l'instant, ce modèle invariant n'est plus adapté.

Pour calculer une convolution, l'intégrale directe est utile quand le recouvrement se décrit simplement, comme dans l'exemple triangulaire. Lorsque les transformées de Fourier sont plus maniables, on multiplie celles-ci puis on revient au domaine initial.

La théorie des distributions prolonge aussi la convolution à certains objets qui ne sont pas des fonctions ordinaires. Ce cadre est préféré lorsqu'une intégrale classique n'a pas de sens, à condition que la convolution y soit bien définie.

Produit de convolution et produit point par point. Le produit point par point compare f et g au même argument, sans intégrer. La convolution fait glisser un profil et cumule tous les produits. Deux fonctions disjointes ont un produit point par point nul, mais leur convolution peut ne pas l'être.

Convolution et corrélation. Les deux opérations font intervenir un décalage, mais la convolution emploie l'argument a − t, ce qui retourne l'un des profils avant le glissement. Pour des profils non symétriques, convolution et corrélation ne donnent donc pas, en général, la même fonction.

L'intégrale peut diverger. La formule ne définit pas automatiquement une valeur. Par exemple, si f et g valent constamment 1 sur ℝ, l'intégrande vaut 1 et l'intégrale sur toute la droite diverge. Il faut alors vérifier les hypothèses du cadre ou renoncer à la convolution classique.

Les bornes de raccord demandent un contrôle. Dans l'exemple uniforme, la convolution vaut exactement 0 en a = 0, 1 en a = 1 et 0 en a = 2. Inclure ou exclure les extrémités des intervalles ne change pas l'intégrale, car quelques points isolés ont une longueur nulle.

Le passage par Fourier dépend des conventions. La convolution devient un produit dans le domaine transformé, mais un facteur constant peut apparaître selon la normalisation retenue. Il faut conserver la même convention pour la transformée et son inverse.

Le cadre des distributions n'efface pas toutes les restrictions. Passer des fonctions ordinaires aux distributions autorise certains prolongements, mais toute paire de distributions ne possède pas automatiquement un produit de convolution. Il faut invoquer un résultat d'existence adapté aux objets considérés.

Transformée de Fourier — Pour voir pourquoi la convolution devient une multiplication dans le domaine des fréquences.

variable aléatoire — Pour replacer la somme de variables indépendantes dans son cadre probabiliste.

densité de probabilité — Pour approfondir la lecture et la normalisation de la densité triangulaire obtenue.