variable aléatoire à densité

Imaginez une mesure qui peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 2, comme un temps ou une distance. Au lieu d'attribuer une probabilité à chaque valeur isolée, on répartit la probabilité sur une ligne grâce à une courbe appelée densité.

Pour connaître la chance que la mesure tombe entre deux bornes, on calcule l'aire située sous la courbe entre ces bornes. La hauteur indique la concentration des valeurs, tandis que l'aire totale sous la courbe vaut 1.

Une variable aléatoire à densité est une application mesurable X qui associe un nombre réel à chaque issue d'un univers probabilisé Ω. Elle possède une densité f, c'est-à-dire une fonction mesurable positive ou nulle, d'intégrale 1 sur ℝ, telle que, pour tous réels a≤b, la probabilité que X appartienne à l'intervalle [a, b] soit donnée par l'intégrale de f entre a et b :

La densité f est positive ou nulle en tout point et son intégrale sur ℝ vaut 1. Ces deux conditions garantissent que les aires représentent des probabilités et que toutes les issues possibles sont prises en compte. La valeur en un point isolé ne donne pas une probabilité ponctuelle : pour une variable à densité, la probabilité d'obtenir exactement une valeur est nulle. Cette notion s'applique donc au calcul de probabilités sur des intervalles, contrairement au modèle discret, qui attribue des probabilités à un ensemble fini ou dénombrable de valeurs.

On considère une variable aléatoire X répartie uniformément entre 0 et 2. Sa densité est constante sur cet intervalle et nulle ailleurs. On cherche la probabilité que X soit comprise entre 0,5 et 1,5.

Données : l'intervalle total est [0, 2], la densité vaut 1/2 sur [0, 2], et l'intervalle étudié est [0,5, 1,5].

La probabilité recherchée est l'aire sous la densité entre 0,5 et 1,5 :

Le résultat est donc P(0,5 ≤ X ≤ 1,5) = 1/2, soit 50 %. Le contrôle est immédiat : l'intervalle étudié a une longueur de 1, tandis que l'intervalle total a une longueur de 2 ; le rapport des longueurs vaut bien 1/2.

Pour calculer la chance qu'une grandeur aléatoire reste entre deux bornes, on identifie d'abord sa densité, puis on intègre cette densité sur l'intervalle voulu. Dans l'exemple uniforme sur [0, 2], une aire se lit aussi comme un rapport de longueurs.

Pour représenter une mesure qui prend des valeurs séparées, le modèle discret est préférable : on additionne alors les probabilités attachées aux valeurs concernées. Le critère observable est l'existence d'un ensemble fini ou dénombrable de résultats auxquels on peut attribuer une masse individuelle.

Pour vérifier un modèle continu, on contrôle que la densité ne devient jamais négative et que son aire totale vaut 1. Si l'une de ces conditions échoue, la fonction proposée ne décrit pas une loi de probabilité complète.

Une variable aléatoire à densité ne se confond pas avec une variable aléatoire discrète. Le critère qui tranche est la manière de calculer une probabilité : une intégrale sur un intervalle dans le premier cas, une somme de probabilités ponctuelles dans le second. Une variable qui prend seulement les valeurs 0 et 1 est discrète, même si ces nombres sont réels.

La densité f ne se confond pas avec une probabilité. Une hauteur f(x) peut dépasser 1, selon l'unité et la largeur de la zone ; c'est l'aire intégrée sur un intervalle qui doit être comprise entre 0 et 1. Dans l'exemple uniforme sur [0, 2], la hauteur 1/2 est une densité et non la probabilité d'une valeur précise.

Une densité peut être définie par morceaux et présenter des ruptures, tant qu'elle reste continue par morceaux, positive ou nulle, et d'intégrale totale égale à 1. Une discontinuité isolée ne bloque donc pas le modèle ; il faut contrôler les morceaux et leurs aires.

La probabilité d'un intervalle réduit à un seul point est nulle pour une variable à densité : P(X = c) = 0 pour tout réel c. Cela ne signifie pas qu'une valeur située dans l'intervalle est impossible ; cela signifie qu'un point isolé a une longueur et une aire nulles. Pour une masse positive en c, il faut un modèle discret ou mixte.

La condition d'intégrale égale à 1 porte sur tout ℝ, pas seulement sur l'intervalle où la courbe semble importante. Une fonction positive dont l'aire vaut 0,8 sur ℝ ne peut pas être une densité ; il manque 0,2 de probabilité. Il faut la renormaliser si le modèle le permet, ou changer de fonction.

Pour replacer cette notion dans le vocabulaire général, la fiche « variable aléatoire » présente le rôle d'une variable aléatoire avant la distinction entre lois discrètes et lois à densité. Elle aide à relier la fonction X, les issues de Ω et les valeurs numériques observées.