Fonction de masse

Imaginez un dé à six faces dont certaines faces sortent plus souvent que d’autres. À chaque résultat possible, de 1 à 6, on associe sa chance d’apparaître. La fonction de masse est cette liste de probabilités organisée comme une fonction : on lui donne une valeur, elle renvoie la probabilité correspondante. Toutes les probabilités sont positives ou nulles et, réunies, elles représentent la totalité des résultats possibles. Leur somme vaut donc 1.

Soit une variable aléatoire discrète nommée X et un ensemble de référence fini ou dénombrable contenant ses valeurs. Sa fonction de masse, notée p, associe à chaque x de cet ensemble la probabilité que X soit exactement égale à x : $p(x)=\mathbb{P}(X=x)p(x)=\backslash mathbb\{P\}(X=x)$.

Chaque valeur p(x) est positive ou nulle. La somme prise sur tout l’ensemble de référence vaut 1 : Ces deux conditions suffisent à définir une loi de probabilité discrète sur l’ensemble considéré. Une valeur peut appartenir à l’ensemble de départ tout en ayant une masse nulle ; le support est formé des valeurs dont la masse est strictement positive.

Pour tout ensemble A de valeurs, la probabilité que X appartienne à A s’obtient en additionnant les masses des valeurs de A. Cette addition peut être finie ou former une série lorsque l’ensemble est infini dénombrable. Pour une variable continue, les probabilités ne se lisent pas point par point dans une fonction de masse : elles se calculent sur des intervalles à partir d’une densité, lorsqu’une densité existe.

Une fonction de masse réunit quatre éléments. La variable aléatoire discrète X décrit la quantité observée. L’ensemble de référence fournit les entrées x. À chaque entrée, le nombre p(x) donne une masse comprise entre 0 et 1. Enfin, la condition de normalisation impose que toutes ces masses totalisent 1.

L’ensemble de référence détermine où les masses peuvent être placées, tandis que la normalisation relie toutes les masses entre elles : en modifier une oblige généralement à en ajuster au moins une autre. Le support dépend ensuite des masses retenues, puisqu’il ne garde que les entrées de masse strictement positive, donc les valeurs effectivement possibles sous la loi. Ces données suffisent à calculer la probabilité de tout événement portant sur X, par addition des masses concernées. Un diagramme en bâtons peut représenter ces nombres, mais son tracé ne fait pas partie de la définition.

On modélise le résultat X d’un dé biaisé à six faces. Les valeurs possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Les masses annoncées sont respectivement 0,1 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,1 et 0,3. On veut trouver la probabilité d’obtenir au moins 4.

1. L’événement « au moins 4 » réunit les résultats 4, 5 et 6.

2. On relève leurs masses : p(4) = 0,2, p(5) = 0,1 et p(6) = 0,3.

3. On les additionne : $\mathbb{P}(X\ge 4)=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,6}\backslash mathbb\{P\}(X\backslash geq\; 4)=0\{,\}2+0\{,\}1+0\{,\}3=0\{,\}6$. La probabilité cherchée vaut exactement 0,6, soit 60 %.

4. Le contrôle porte sur toute la fonction : 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,1 + 0,3 = 1. Toutes les masses sont positives et leur somme vaut 1 ; la liste définit donc bien une fonction de masse.

Pour calculer la probabilité d’un événement discret, on repère les valeurs qui le réalisent, puis on additionne leurs masses. Avec le dé biaisé, « obtenir un nombre pair » conduit à additionner p(2), p(4) et p(6).

Pour contrôler un modèle proposé, on vérifie que chaque masse est positive ou nulle et que leur somme vaut 1. Si le total diffère de 1, la liste n’est pas une fonction de masse tant qu’elle n’a pas été corrigée ou normalisée de façon justifiée.

Lorsque la question porte sur un seuil, comme « X est au plus égal à 4 », la fonction de répartition est souvent plus pratique : elle cumule directement les masses jusqu’au seuil. Prendre ses valeurs dans un continuum ne suffit pas à caractériser la loi : celle-ci peut être discrète, mixte ou singulière. Une densité ne la décrit que si elle est absolument continue.

Fonction de masse et fonction de répartition. La première donne une probabilité à une valeur exacte ; la seconde donne la probabilité d’être inférieur ou égal à un seuil. Pour le dé biaisé, p(4) vaut 0,2, tandis que la fonction de répartition au seuil 4 cumule les masses de 1 à 4 et vaut 0,6.

Fonction de masse et densité de probabilité. Une masse attribue directement une probabilité positive à un point discret. Pour une variable continue munie d’une densité, la probabilité d’une valeur isolée est nulle et une probabilité s’obtient en intégrant sur un intervalle. Un diagramme en bâtons peut représenter une fonction de masse lorsque les hauteurs sont les probabilités ponctuelles ; une courbe représente une densité lorsque les probabilités sont données par les aires sous cette courbe.

Fonction de masse et fréquences observées. La fonction de masse appartient au modèle probabiliste ; les fréquences viennent d’un échantillon. Après cent lancers, observer 28 résultats égaux à 6 donne une fréquence de 0,28, qui peut estimer p(6), mais ne prouve pas que sa valeur théorique est 0,28.

Une valeur hors du domaine considéré. Si p est définie seulement sur les valeurs 1 à 6 d’un dé, p(7) est indéfini. On peut toutefois étendre p à un domaine contenant 7 en posant p(7) = 0, sans ajouter 7 au support.

Une masse nulle n’appartient pas au support. Si un modèle posé sur les entiers donne p(3) = 0, l’entier 3 reste dans l’ensemble de départ mais sort du support. Confondre ces deux ensembles fausse la description des valeurs effectivement possibles sous la loi.

Un ensemble infini dénombrable exige une série. Il ne suffit pas que chaque masse soit inférieure à 1. Les masses doivent être positives ou nulles et leur série doit converger exactement vers 1 ; sinon la formule ne définit pas une loi de probabilité.

La hauteur d’un bâton est une masse, pas une aire imposée. Dans une représentation discrète, élargir visuellement les bâtons ne change pas les probabilités. Il faut lire leur hauteur étiquetée, contrairement à une densité continue où l’aire sur un intervalle porte la probabilité.

La fiche variable aléatoire précise comment un résultat aléatoire devient une valeur numérique à laquelle une loi peut être associée.

La fonction de répartition montre comment les masses se cumulent et pourquoi chaque masse correspond à la taille d’un saut.

La densité de probabilité prolonge la comparaison vers les variables continues, dont les probabilités se lisent sur des intervalles.