Probabilités et statistiquesNotion · Glossaire
Discrète (topologie)
La topologie discrète sur un ensemble est la topologie dans laquelle tout sous-ensemble est ouvert ; tout espace muni de cette topologie est métrisable par la distance discrète et séparé. Une variable aléatoire est discrète si elle appartient presque sûrement à un ensemble fini ou dénombrable ; sa loi est alors entièrement décrite par la donnée des probabilités de chaque valeur, formant une mesure discrète concentrée sur un ensemble dénombrable. Ces deux notions partagent l'idée d'une structure atomisée, concentrée sur des points isolés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la topologie discrète d'une variable aléatoire discrète.
- Définir la distance discrète et reconnaître ses valeurs 0 et 1.
- Construire et contrôler la loi discrète d'un dé équilibré.
- Éviter d'assimiler discret à fini ou compact.
En clair
Un dé produit l'une des six valeurs 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Chaque résultat peut être considéré séparément, sans valeur intermédiaire entre deux faces. La loi du dé attribue une probabilité à chacun de ces points.
La même idée apparaît en topologie : dans un espace discret, chaque point est isolé et tout regroupement de points est ouvert. « Discret » décrit donc ici une structure faite d'éléments distinguables un par un, même s'ils sont en nombre infini dénombrable.
Définition
Soit un ensemble E. Sa topologie discrète est l'ensemble de toutes ses parties, appelé ensemble des parties de E et noté . Ainsi, chaque singleton et chaque réunion de singletons sont ouverts. La distance discrète d compare deux points x et y selon le critère suivant.
Cette distance induit la topologie discrète ; l'espace obtenu est métrisable et séparé. Dans un espace probabilisé, une variable aléatoire X est dite discrète lorsqu'il existe un ensemble S fini ou dénombrable tel que X appartienne à S presque sûrement. Sa loi est déterminée par les nombres px, pour x dans S, où px est la probabilité de l'événement « X vaut x ». Ces probabilités sont positives ou nulles et leur somme sur S vaut 1. La mesure obtenue est concentrée sur cet ensemble dénombrable.
Les deux emplois ne sont pas une seule définition : l'un qualifie une topologie sur un ensemble, l'autre l'image et la loi d'une variable aléatoire. Leur point commun est que l'information se décompose point par point.
Un exemple, pas à pas
On lance un dé équilibré à six faces. L'ensemble E des valeurs possibles est {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La variable aléatoire X donne le numéro obtenu, et chaque valeur a la probabilité 1/6. On note P la probabilité.
1. Munir E de la topologie discrète revient à déclarer ouvertes ses 64 parties, car un ensemble de six éléments possède 26 = 64 sous-ensembles. Le singleton {4}, l'ensemble {2, 4, 6} et E lui-même sont donc ouverts.
2. Pour la distance discrète, la distance de 2 à 2 vaut 0, tandis que celle de 2 à 5 vaut 1. Seule l'égalité des résultats compte, pas leur écart numérique habituel.
3. La loi de X se lit point par point : . Une représentation par six points séparés rend visible ce support discret et l'égalité des six masses.
4. L'événement « X est pair » réunit trois valeurs. Sa probabilité est la somme des trois masses correspondantes.
Le contrôle consiste à additionner les six masses : 6 × 1/6 = 1. La loi est bien normalisée, et ses six valeurs appartiennent toutes à E.
En pratique
Pour modéliser un nombre de clients, de défauts ou de succès, on énumère les valeurs possibles et on attribue une masse à chacune. Si la loi ne comporte pas de masses ponctuelles et peut être décrite par une densité sur un intervalle, un modèle continu est plus adapté.
Pour étudier un ensemble dont les points doivent être isolés, on peut choisir la topologie discrète. Si l'on veut au contraire traduire une notion de proximité entre points distincts, une topologie moins fine conserve davantage d'information géométrique.
Pour vérifier une loi discrète, on contrôle que chaque probabilité est positive ou nulle et que leur somme vaut 1. Une somme différente de 1 signale une valeur oubliée, comptée deux fois ou mal pondérée.
À ne pas confondre
Variable discrète et variable continue. Une variable discrète possède un ensemble fini ou dénombrable de valeurs possibles, chacune pouvant recevoir une masse. Une mesure de durée sur tout un intervalle relève plutôt d'un modèle continu.
Topologie discrète et topologie grossière. Dans la topologie discrète, toutes les parties sont ouvertes. Dans la topologie grossière, seuls l'ensemble vide et l'espace entier le sont ; un singleton non trivial tranche immédiatement entre les deux.
Distance discrète et distance usuelle. La distance discrète entre deux points distincts vaut toujours 1. Sur les nombres, la distance usuelle entre 2 et 5 vaut 3 : elle mesure un écart que la distance discrète ignore.
Limites et pièges
Dénombrable ne signifie pas fini. Une variable discrète peut prendre une infinité dénombrable de valeurs. Arrêter une somme après quelques termes donne alors seulement une probabilité partielle ; il faut contrôler la série entière ou borner son reste.
Le domaine de la variable n'a pas à être discret. C'est l'ensemble de ses valeurs possibles qui est fini ou dénombrable. Une expérience décrite sur un espace très riche peut donc produire une variable discrète, par exemple un simple nombre d'occurrences.
Discret ne garantit pas compact. Tout espace discret fini est compact, mais un espace discret infini ne l'est pas : le recouvrement formé de tous ses singletons n'admet aucun sous-recouvrement fini. Il faut vérifier la finitude avant d'invoquer la compacité.
Les nombres voisins ne deviennent pas proches. Avec la distance discrète, 2 et 3 sont aussi éloignés que 2 et 100, puisque les deux distances valent 1. Il faut employer une autre métrique si l'écart numérique doit intervenir.
Pour aller plus loin
La fiche variable aléatoire replace le cas discret dans le cadre général qui associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience.
La notion de Point isolé précise le sens topologique de l'isolement qui caractérise chaque point d'un espace discret.
La densité de probabilité offre le contraste utile avec les masses placées point par point par une loi discrète.
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