Mesure de comptage

Imaginez quatre jetons portant les lettres a, b, c et d. Si l’on retient a, c et d, la mesure de comptage de cette sélection vaut 3. Elle ne tient compte ni de la taille des jetons ni de leur ordre : chaque élément présent compte pour une unité.

Le même principe transforme aussi une intégrale en addition. Une fonction attribue une valeur à chaque jeton ; intégrer revient alors à additionner ces quatre valeurs.

Soit un ensemble E. Sa mesure de comptage, notée μ, est définie sur la tribu de toutes les parties de E. Pour toute partie A de E, elle renvoie le cardinal de A lorsque A est finie et la valeur +∞ lorsque A est infinie. En particulier, l’ensemble vide a pour mesure 0 et chaque singleton a pour mesure 1. Pour une famille dénombrable de parties deux à deux disjointes, la mesure de leur réunion est la somme de leurs mesures.

Dans la formule, |A| désigne le nombre d’éléments de A. Pour une fonction f définie sur E et à valeurs non négatives, l’intégrale par rapport à μ est la somme, éventuellement infinie, de ses valeurs. Pour une fonction de signe variable, cette égalité donne une intégrale finie lorsque la famille des valeurs absolues est sommable. Sur un ensemble fini, aucune difficulté de convergence ne se présente.

On rencontre la mesure de comptage dès que les objets sont séparés et peuvent être énumérés : issues d’un dé, sommets d’un graphe, mots d’un texte ou valeurs prises par une variable aléatoire discrète. Les marqueurs sont l’absence d’unité physique, des éléments individualisés, un poids identique de 1 par élément et des sous-ensembles décrits par appartenance. Le support porte alors une information de multiplicité : combien d’éléments appartiennent à la partie étudiée. En probabilités discrètes, cette mesure sert de référence pour exprimer une loi par les poids attribués aux différentes valeurs.

La grandeur lue est un nombre d’éléments, sans unité physique. La convention essentielle est que chaque élément distinct présent dans le sous-ensemble apporte exactement 1, indépendamment de sa valeur ou de sa position.

1. On fixe l’ensemble de référence E, puis la partie A que l’on veut mesurer.

2. On vérifie quels éléments distincts appartiennent effectivement à A ; une répétition dans une liste ne crée pas un nouvel élément de l’ensemble.

3. Si A est finie, on compte ses éléments. Si elle est infinie, sa mesure de comptage vaut +∞.

4. Pour intégrer une fonction, on additionne ses valeurs sur les éléments concernés et l’on contrôle la convergence si l’ensemble est infini. L’œil peut confondre taille numérique et présence : une valeur 100 ne compte pas davantage qu’une valeur 2.

On considère l’ensemble E formé des quatre lettres a, b, c et d, ainsi que sa partie A formée de a, c et d. Une fonction f attribue respectivement aux quatre lettres les valeurs 2, −1, 4 et 0. Ces données suffisent pour mesurer A puis intégrer f sur E.

1. La partie A contient les trois éléments distincts a, c et d. Sa mesure de comptage vaut donc exactement 3.

2. Pour intégrer f sur E, on prend une fois la valeur associée à chacun des quatre éléments.

3. Le résultat est 5, sans unité puisque les valeurs données n’en portent aucune.

4. Le contrôle consiste à regrouper autrement les mêmes termes : 2 + 4 donnent 6, puis 6 − 1 et l’ajout de 0 redonnent 5. Chaque lettre intervient exactement une fois.

Pour compter les éléments d’une sélection finie, on applique directement la mesure de comptage. Si les objets portent des poids différents, une mesure pondérée est préférable, car le seul nombre d’objets ne résume plus leur contribution.

Pour sommer les valeurs d’une fonction sur un ensemble discret, l’écriture intégrale par rapport à la mesure de comptage permet d’utiliser le langage général de l’intégration. Sur un domaine continu, une mesure adaptée aux longueurs ou aux volumes remplace ce comptage point par point.

Pour décrire une loi discrète, on associe à chaque issue son poids de probabilité relativement à la mesure de comptage. Si la probabilité n’est pas répartie en masses isolées, ce support discret n’est plus le bon modèle.

Cardinalité. Le cardinal est le nombre d’éléments d’un ensemble fini ; la mesure de comptage est une fonction définie sur toutes les parties d’un ensemble de référence. Pour A formée de a, c et d, le cardinal 3 est la valeur que la mesure attribue à A.

Mesure de probabilité. Une probabilité donne une masse totale égale à 1, tandis que la mesure de comptage donne à E sa cardinalité, ou +∞ si E est infini. Sur quatre éléments, leurs masses totales valent donc respectivement 1 et 4.

Mesure de Dirac. Une mesure de Dirac compte seulement la présence d’un point fixé : elle vaut 1 si ce point appartient à la partie et 0 sinon. La mesure de comptage additionne cette contribution pour tous les points ; une partie de trois éléments reçoit donc 3, pas seulement 0 ou 1.

Ensemble vide. Aucun élément n’est présent : la mesure vaut 0. Il ne faut pas attribuer 1 au vide sous prétexte qu’il constitue lui-même une partie de E.

Partie infinie. Dès qu’une partie possède une infinité d’éléments, sa mesure de comptage vaut +∞, qu’elle soit dénombrable ou non. On ne lui attribue pas un entier très grand ni une approximation finie.

Somme de signe variable. Sur un ensemble infini, écrire « la somme de toutes les valeurs » ne garantit pas une intégrale finie. Il faut vérifier la sommabilité des valeurs absolues ; sinon, l’ordre d’énumération peut masquer une divergence ou modifier une série seulement conditionnellement convergente.

Support non dénombrable. La mesure de comptage reste définie, mais elle n’est alors pas σ-finie : une réunion dénombrable de parties finies reste au plus dénombrable. Les théorèmes qui exigent la σ-finitude doivent donc être utilisés avec une autre hypothèse ou une autre mesure.

La mesure de comptage ouvre deux prolongements naturels : les lois portées par des valeurs isolées et les mesures autorisant des contributions négatives.

Discrète (variable aléatoire) — Pour relier le support dénombrable d’une variable aux masses de probabilité portées par ses valeurs.

Mesure signée — Pour voir ce qui change lorsqu’une mesure peut attribuer des contributions positives et négatives.