Mesure image

Imaginez quatre points portant chacun le même poids. On leur applique une règle qui les déplace ou les regroupe. La mesure image indique alors combien de poids arrive dans chaque zone d'arrivée.

Pour connaître le poids d'une zone, on remonte vers tous les points de départ qui y conduisent, puis on additionne leurs poids. Plusieurs points peuvent donc contribuer au même résultat. En probabilités, ce transport donne la loi de la valeur obtenue après transformation d'une variable aléatoire.

Soit un espace mesurable de départ X muni d'une tribu F et d'une mesure μ. Soit un espace mesurable d'arrivée Y muni d'une tribu G. Une application f de X vers Y est supposée mesurable : la préimage par f de tout ensemble de G appartient à F. La mesure image de μ par f, aussi appelée mesure pushforward, est la mesure ν sur Y définie, pour tout ensemble mesurable B de Y, par $\nu (B)=\mu (f^{-1}(B))\backslash nu(B)=\backslash mu(f^\{-1\}(B))$. On la note souvent $f_{\mathrm{\#}}\mu f\_\{\backslash \#\}\backslash mu$.

La préimage $f^{-1}(B)f^\{-1\}(B)$ rassemble tous les points de départ envoyés dans B ; elle ne suppose pas que f soit inversible. La mesure image conserve la masse totale : ν(Y) = μ(X). Si μ est une mesure de probabilité, ν l'est donc aussi. Dans ce cadre, lorsque une variable aléatoire de loi μ est transformée par f, la loi de la variable transformée est $f_{\mathrm{\#}}\mu f\_\{\backslash \#\}\backslash mu$.

Pour toute fonction g mesurable et positive sur Y, ou intégrable par rapport à ν, l'intégration peut être reportée sur l'espace de départ : Cette identité est le changement de variable associé à la mesure image.

On rencontre une mesure image dès qu'une quantité mesurée est remplacée par une valeur calculée : le carré d'une observation, son arrondi, sa catégorie ou une coordonnée extraite. Quatre marqueurs permettent de la reconnaître : un espace de départ muni d'une mesure, une application mesurable, un espace d'arrivée et des ensembles étudiés par leurs préimages. L'information portée est la répartition de la masse après transformation, même lorsque plusieurs valeurs de départ conduisent à la même arrivée.

La grandeur à lire est la masse attribuée à un ensemble B de l'espace d'arrivée. 1. Fixez B et la mesure de départ μ. 2. Cherchez sa préimage, c'est-à-dire tous les points x tels que f(x) appartienne à B. 3. Mesurez cet ensemble de départ avec μ : le résultat est ν(B). 4. Pour contrôler la masse totale, prenez B = Y et vérifiez que ν(Y) = μ(X).

La convention décisive est de compter la masse avant la transformation, sur la préimage. Le dessin peut faire croire qu'un point d'arrivée ne reçoit qu'une contribution. Si f n'est pas injective, plusieurs préimages se superposent ; le bon réflexe consiste à les réunir toutes avant d'appliquer μ.

Une expérience choisit uniformément l'une des quatre valeurs −2, −1, 1 et 2. Chaque point porte donc une masse de 1/4. On applique la fonction f qui associe à un nombre son carré. L'espace d'arrivée utile contient les valeurs 1 et 4. Le regroupement des quatre départs vers ces deux arrivées rend visible la construction de la mesure image.

1. La préimage de {1} est {−1, 1}.
2. Sa masse vaut 1/4 + 1/4 = 1/2, donc ν({1}) = 1/2.
3. La préimage de {4} est {−2, 2}.
4. Sa masse vaut aussi 1/2, donc ν({4}) = 1/2.

Pour contrôler le changement de variable, prenons la fonction g qui renvoie son argument. Dans l'espace d'arrivée, l'intégrale vaut 1 × 1/2 + 4 × 1/2 = 5/2. Dans l'espace de départ, la moyenne des carrés vaut (4 + 1 + 1 + 4)/4 = 5/2. Les deux calculs coïncident exactement.

En probabilités, on part de la loi d'une variable aléatoire et d'une transformation mesurable. On cherche les préimages des ensembles ou événements d'arrivée ; leur probabilité donne la loi transformée. Dans le cas discret, on peut procéder résultat par résultat. Une simulation empirique est préférable lorsque la loi initiale ou les préimages sont trop difficiles à calculer explicitement.

Pour une transformation de données, comme un arrondi ou un classement en catégories, on mesure la préimage de chaque classe. Dans le cas discret, cela revient à additionner les masses des valeurs placées dans cette classe ; dans le cas général, on mesure ou on intègre sur sa préimage. Si l'on doit au contraire retrouver une densité explicite, la formule de densité avec jacobien devient utile lorsque ses hypothèses de régularité sont satisfaites.

Pour calculer une espérance après transformation, il est souvent plus direct d'intégrer la fonction composée sur l'espace de départ. Cette voie évite de déterminer d'abord la mesure image lorsque l'intégrale d'origine est déjà accessible.

Mesure image et image directe d'un ensemble. L'image directe f(A) est un sous-ensemble de Y, tandis que la mesure image ν attribue une masse aux ensembles mesurables de Y. Dans l'exemple, f({−1, 1}) = {1}, mais ν({1}) = 1/2 : le type du résultat tranche.

Mesure image et loi. Une loi est une mesure de probabilité obtenue dans un cadre probabiliste. Toute loi d'une variable transformée est une mesure image, mais l'expression mesure image s'applique aussi à des mesures qui ne sont pas des probabilités. Le test consiste à vérifier si la masse totale vaut 1.

Mesure image et formule de densité. La mesure image est définie par les préimages sans supposer l'existence d'une densité. Une formule comportant un jacobien décrit seulement la densité dans des cadres réguliers. Une masse concentrée en un point suffit à distinguer les deux situations.

Application non mesurable. Si la préimage d'un ensemble mesurable de Y n'est pas mesurable dans X, μ ne peut pas nécessairement lui attribuer de valeur. La formule ne définit alors pas une mesure image sur la tribu annoncée ; il faut restreindre les ensembles ou changer le cadre mesurable.

Application non injective. Deux points distincts peuvent avoir la même image. Le symptôme est une masse d'arrivée supérieure à chacune des masses individuelles, comme 1/2 en 1 dans l'exemple. Il faut mesurer l'union complète des préimages, sans choisir un antécédent privilégié.

Application constante. Si f envoie tout X vers une valeur y₀, toute la masse se concentre en y₀. Pour une probabilité, la mesure image est la masse de Dirac en ce point ; ce cas n'autorise pas à parler d'une densité ordinaire par rapport à la mesure de Lebesgue.

σ-finitude non préservée en général. Une mesure de départ σ-finie peut devenir non σ-finie après regroupement. Par exemple, la mesure de Lebesgue sur ℝ envoyée par une application constante attribue une masse infinie à l'unique point d'arrivée. La finitude de μ, elle, garantit celle de sa mesure image.

La fiche variable aléatoire prolonge cette construction : elle précise l'objet mesurable dont la loi est obtenue comme mesure image d'une probabilité.