Étrangères (mesures)

Imaginez quatre cases : la première mesure ne dépose du poids que dans les deux premières, la seconde uniquement dans les deux dernières. Elles ne se partagent donc aucune zone où leur masse soit présente. On les dit étrangères, ou mutuellement singulières.

L'idée décisive n'est pas que leurs valeurs soient différentes. Il faut pouvoir couper tout l'espace en deux parties mesurables, chacune accueillant entièrement l'une des mesures et aucune masse de l'autre.

Soient deux mesures positives, notées μ et ν, définies sur le même espace mesurable X. Elles sont étrangères, ou mutuellement singulières, lorsqu'il existe un ensemble mesurable A tel que μ ne mesure rien hors de A et que ν ne mesure rien dans A. Le critère s'écrit : $\mu (X\setminus A)=0\text{et}\nu (A)=0\backslash mu(X\backslash setminus\; A)=0\; \backslash quad\; \backslash text\{et\}\; \backslash quad\; \backslash nu(A)=0$. On note alors $\mu \perp \nu \backslash mu\backslash perp\backslash nu$.

L'ensemble A et son complément forment la partition recherchée. Dire que μ est concentrée sur A signifie seulement que le complément de A est de mesure μ nulle ; A n'est pas nécessairement l'unique ensemble possible. La relation est symétrique : le complément de A concentre ν et ne porte aucune masse de μ.

Pour deux mesures positives sigma-finies μ et λ, la décomposition de Lebesgue sépare μ de façon unique en une partie μ_ac, absolument continue par rapport à la mesure de référence λ, et une partie μ_s, étrangère à λ : $\mu ={\mu }_{ac}+{\mu }_s,{\mu }_{ac}\ll \lambda ,{\mu }_s\perp \lambda \backslash mu=\backslash mu\_\{ac\}+\backslash mu\_s,\; \backslash qquad\; \backslash mu\_\{ac\}\backslash ll\backslash lambda,\; \backslash qquad\; \backslash mu\_s\backslash perp\backslash lambda$. La dérivée de Radon-Nikodym décrit ensuite la partie absolument continue.

On rencontre cette situation quand deux façons d'attribuer une masse, une probabilité ou un poids portent sur le même ensemble d'objets. Quatre indices orientent la lecture : les deux mesures partagent le même espace mesurable ; une coupure mesurable sépare cet espace ; toute la masse de la première reste d'un côté ; toute la masse de la seconde reste de l'autre.

Le support étudié n'est donc pas une unité de mesure malgré le mot « mesures ». C'est l'organisation des zones de masse nulle qui porte l'information : elles révèlent si les deux mesures peuvent être séparées entièrement.

La grandeur à suivre est la masse attribuée à chaque côté d'une partition mesurable. 1. Choisissez un ensemble mesurable A susceptible de concentrer μ. 2. Contrôlez que μ(X ∖ A) vaut zéro. 3. Contrôlez que ν(A) vaut zéro. 4. Si les deux égalités sont vraies, concluez que μ et ν sont étrangères.

La convention essentielle est que « concentrée sur A » autorise des points de A qui ne portent aucune masse. Une représentation graphique peut faire croire que deux supports qui se touchent empêchent la singularité. Le bon réflexe consiste à vérifier les ensembles de mesure nulle, et non la seule distance visuelle entre les points.

Prenons l'espace X = {a, b, c, d}. La mesure μ attribue les masses μ({a}) = 2, μ({b}) = 1, μ({c}) = 0 et μ({d}) = 0. La mesure ν attribue ν({a}) = 0, ν({b}) = 0, ν({c}) = 4 et ν({d}) = 3. Toutes les masses sont sans unité.

1. Choisissons A = {a, b} ; son complément dans X est {c, d}.
2. Additionnons les masses de μ sur le complément : μ({c, d}) = 0 + 0 = 0.
3. Additionnons les masses de ν sur A : ν({a, b}) = 0 + 0 = 0.
4. Les deux conditions sont satisfaites, donc μ et ν sont étrangères.

Le contrôle est refaisable en sens inverse : {c, d} concentre ν, car ν({c, d}) = 4 + 3 = 7, et cette même partie ne reçoit aucune masse de μ. La figure matérialise cette séparation sans remplacer les deux vérifications de mesure nulle.

Dans une loi de probabilité discrète, on regroupe les issues qui reçoivent une probabilité positive sous chaque loi. Si ces groupes peuvent être séparés, la singularité mutuelle convient ; s'ils partagent une issue de masse positive, il faut décrire leur partie commune.

Dans une décomposition de Lebesgue, on choisit d'abord une mesure de référence. La masse possédant une densité forme la partie absolument continue ; la masse concentrée sur un ensemble nul pour la référence forme la partie singulière.

Pour vérifier un candidat à la singularité, on cherche une seule séparation globale et on calcule les deux masses qui doivent être nulles. Si aucune coupure ne satisfait les deux tests, il ne suffit pas de montrer que les mesures diffèrent.

Étrangeté et différence. Deux mesures peuvent attribuer des valeurs différentes sans être étrangères. Sur {a, b}, si μ({a}) = 1 et ν({a}) = 2, elles donnent toutes deux une masse positive au même point : aucune partition ne les sépare à cet endroit.

Étrangeté et continuité absolue. Une mesure ν est absolument continue par rapport à μ lorsque tout ensemble de mesure μ nulle est aussi de mesure ν nulle. La singularité est une relation distincte : deux mesures étrangères se concentrent sur des parties séparées. Elle n'est toutefois pas le contraire logique de l'absolue continuité, puisque la mesure nulle est à la fois absolument continue par rapport à toute mesure et étrangère à toute mesure. Dans la décomposition de Lebesgue, ces comportements correspondent aux deux composantes distinctes.

La mesure nulle. Une mesure qui vaut zéro sur tout ensemble est étrangère à n'importe quelle autre mesure : choisissez comme partie de concentration l'espace entier pour l'autre mesure. Ce cas charnière satisfait bien le critère, même s'il ne montre aucune séparation visible de masses positives.

Des supports visuellement proches. Deux ensembles de concentration peuvent se toucher, voire être difficiles à distinguer sur un dessin. Ce contact topologique ne tranche pas la question. Il faut exhiber une partie mesurable et vérifier exactement les deux mesures nulles.

Une partie singulière n'est pas forcément un paquet de points isolés. Le symptôme pertinent reste sa concentration sur un ensemble nul pour la mesure de référence. Il faut tester cette nullité plutôt que supposer que toute mesure singulière est atomique.

La référence doit être nommée. Une mesure n'est pas « singulière » sans relation implicite ou explicite à une autre mesure. Dans une décomposition, il faut préciser la mesure de référence et les hypothèses de sigma-finitude qui garantissent la forme annoncée et son unicité.

La dérivée de Radon-Nikodym donne une expression de la composante absolument continue sous la forme d'une densité par rapport à la mesure de référence. Elle complète ainsi la décomposition de Lebesgue : une composante se décrit par cette densité, tandis que l'autre reste étrangère à la référence.