Mesure complexe

Imaginons deux points auxquels on attribue les valeurs 1 + i et −1 + 2i. Pour un groupe de points, on additionne leurs valeurs : les parties réelles peuvent se compenser, tandis que les parties imaginaires s'ajoutent. Le groupe entier reçoit ainsi 3i.

Une mesure complexe généralise ce geste à des ensembles mesurables. Elle conserve l'additivité d'une mesure ordinaire, mais son résultat possède deux composantes et n'exprime donc pas une taille positive.

Un espace mesurable est un ensemble X muni d'une tribu, c'est-à-dire une famille de sous-ensembles contenant X, stable par complémentaire et par union dénombrable. Une mesure complexe μ associe à chaque ensemble mesurable A un nombre complexe μ(A), avec μ(∅) = 0. Pour toute suite d'ensembles mesurables deux à deux disjoints, elle satisfait la sigma-additivité :

La partie réelle μ₁ et la partie imaginaire μ₂ sont des mesures réelles signées, et μ = μ₁ + iμ₂. La variation totale, notée |μ|, additionne les amplitudes sans laisser les valeurs complexes se compenser. C'est une mesure positive finie. Si |μ|(A) = 0, alors μ(A) = 0 : μ est absolument continue par rapport à |μ|. Enfin, si X est un espace compact hausdorffien, le théorème de représentation de Riesz-Markov met en correspondance les fonctionnelles linéaires continues sur C(X) et les mesures complexes de Borel régulières finies sur X.

On rencontre une mesure complexe lorsqu'un texte associe des nombres complexes à des ensembles mesurables plutôt qu'à des points isolés. Quatre marqueurs la signalent : une tribu d'ensembles, une notation telle que μ(A), des valeurs avec une partie réelle et une partie imaginaire, puis une somme portant sur des ensembles disjoints.

Ce cadre apparaît notamment avec des mesures de Borel et en analyse harmonique. La tribu indique quels ensembles peuvent recevoir une valeur ; la valeur complexe encode simultanément deux mesures réelles signées.

La grandeur à lire est la valeur complexe attribuée à un ensemble mesurable. Premièrement, on repère l'ensemble A et la tribu à laquelle il appartient. Deuxièmement, on sépare μ(A) en sa partie réelle μ₁(A) et sa partie imaginaire μ₂(A). Troisièmement, si A est réuni à un ensemble B disjoint, on additionne les deux valeurs complexes.

Pour mesurer l'amplitude sans compensation, on lit plutôt la variation totale |μ|. L'œil pourrait croire que μ({a, b}) = 3i ne garde aucune trace des parties réelles 1 et −1. Elles se sont seulement annulées dans la somme ; |μ| additionne les modules des contributions atomiques et les conserve.

Prenons l'ensemble X = {a, b} muni de tous ses sous-ensembles mesurables. Les données sont μ({a}) = 1 + i, μ({b}) = −1 + 2i et μ(∅) = 0. La figure vectorielle rend visibles l'addition et la compensation des parties réelles.

1. Les singletons {a} et {b} sont disjoints.
2. La sigma-additivité donne μ({a, b}) = (1 + i) + (−1 + 2i) = 3i.
3. Les modules des deux contributions valent respectivement √2 et √5.
4. La variation totale sur X vaut donc |μ|(X) = √2 + √5.

Le contrôle porte sur les quatre ensembles mesurables : 0 pour l'ensemble vide, 1 + i pour {a}, −1 + 2i pour {b}, et 3i pour X. Pour toute réunion disjointe possible, la valeur du tout est bien la somme des valeurs des parties.

Dans un calcul d'intégrale, une mesure complexe permet de rassembler en une seule écriture deux intégrations par rapport à des mesures réelles signées. On sépare ensuite les parties réelle et imaginaire quand le calcul l'exige.

En analyse harmonique, les coefficients ou phases complexes conduisent naturellement à de telles mesures. Si seule une masse non négative est recherchée, une mesure positive est plus adaptée ; si le signe compte mais pas la phase complexe, une mesure signée suffit.

Pour majorer une intégrale ou contrôler l'amplitude cumulée, on remplace les compensations de μ par la mesure positive |μ|. Le critère observable est alors le besoin d'une borne positive, plutôt que de la valeur complexe résultante.

Mesure positive. Elle ne prend que des valeurs réelles non négatives. Sur l'exemple, μ({b}) = −1 + 2i suffit à exclure cette catégorie.

Mesure signée. Elle prend des valeurs réelles qui peuvent être négatives. La partie imaginaire non nulle de μ({a}) = 1 + i montre que μ n'est pas une mesure signée réelle, même si ses composantes μ₁ et μ₂ le sont.

Fonction complexe quelconque sur des ensembles. La valeur complexe ne suffit pas. Il faut μ(∅) = 0 et la sigma-additivité pour toute suite d'ensembles deux à deux disjoints. L'identité μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) pour deux ensembles disjoints n'est qu'un test nécessaire, pas le critère complet.

Une somme nulle ne signifie pas absence de variation. Deux valeurs complexes non nulles peuvent s'annuler. Si μ({a}) = 1 et μ({b}) = −1, alors μ({a, b}) = 0, mais |μ|({a, b}) = 2. Il faut employer la variation totale pour mesurer l'amplitude cumulée.

La décomposition réelle-imaginaire n'est pas une décomposition positive. Les mesures μ₁ et μ₂ peuvent chacune prendre des valeurs négatives. Leur décomposition de Jordan en parties positive et négative constitue une étape distincte.

La représentation exige son cadre topologique. La simple présence d'une tribu ne suffit pas pour invoquer Riesz-Markov. Dans la version mentionnée ici, l'espace est compact et les mesures considérées sont régulières.

L'absolue continuité a un sens orienté. De |μ|(A) = 0, on déduit μ(A) = 0. Cette propriété ne dit pas que toute mesure positive est absolument continue par rapport à μ.

La Variation totale précise la mesure positive qui contrôle l'amplitude de μ sans compensation complexe.

La Mesure signée détaille la nature des parties réelle et imaginaire ainsi que leur décomposition de Jordan.

La mesure de Borel introduit le cadre mesurable associé à la topologie, utile pour situer les mesures régulières de Riesz-Markov.