GéométrieUnité de mesure · Glossaire
Variation d'une mesure
La variation d'une mesure signée μ sur un espace mesurable est la mesure positive obtenue en prenant le supremum des sommes des valeurs absolues de μ sur des partitions finies en ensembles mesurables. Elle est notée |μ| et permet de définir la variation totale. La décomposition de Hahn partage l'espace en un ensemble positif et un ensemble négatif, tandis que la décomposition de Jordan associe à μ deux mesures positives uniques μ⁺ et μ⁻, avec μ = μ⁺ − μ⁻ et |μ| = μ⁺ + μ⁻.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la mesure de variation |μ| de la valeur absolue |μ(E)| et de la variation totale |μ|(X).
- Calculer la variation sur un espace fini en raffinant une partition.
- Relier |μ| aux parties positive et négative de la décomposition de Jordan.
- Repérer les compensations et vérifier si la variation totale est finie.
En clair
Imaginez trois points auxquels on attribue les valeurs 3, −2 et 1. Leur somme signée vaut 2, car la valeur négative compense une partie des positives. La variation de la mesure refuse cette compensation : elle compte 3, 2 et 1, soit 6 au total.
Cette nouvelle mesure est toujours positive. Elle indique donc la quantité totale portée par la mesure signée, indépendamment du signe, tout en conservant la répartition entre les ensembles mesurables.
Définition
Soit une mesure signée notée μ sur un espace mesurable, et soit E un ensemble mesurable. On considère toutes les partitions finies de E en ensembles mesurables disjoints E1, …, En. La variation de μ sur E est le supremum des sommes des valeurs absolues prises sur les morceaux.
L'application E ↦ |μ|(E) est une mesure positive, appelée mesure de variation de μ. La décomposition de Jordan écrit μ comme la différence de deux mesures positives, sa partie positive μ+ et sa partie négative μ−. Elles sont portées par des régions disjointes au sens de la décomposition de Hahn.
Cette décomposition est unique. La variation totale est la masse de |μ| sur l'espace entier ; elle peut être finie ou infinie. Pour une mesure positive, μ− est nulle et |μ| = μ.
Où on le rencontre
On rencontre la variation lorsqu'une même grandeur mathématique peut ajouter de la masse sur une région et en retrancher sur une autre. Quatre marqueurs la signalent : la mesure prend des valeurs positives et négatives, les ensembles appartiennent à un espace mesurable, les valeurs s'additionnent sur des ensembles disjoints et des compensations peuvent masquer l'amplitude réelle.
Le support étudié n'est donc pas une règle graduée ou une unité physique. C'est une collection d'ensembles mesurables. La mesure signée μ y porte un bilan algébrique ; la mesure positive |μ| y porte l'ampleur sans compensation.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est la masse positive |μ|(E) attachée à un ensemble mesurable E. Premièrement, découpez E en un nombre fini de morceaux mesurables disjoints. Deuxièmement, calculez μ sur chaque morceau. Troisièmement, additionnez les valeurs absolues. Enfin, cherchez le supremum obtenu parmi toutes les partitions finies.
La convention décisive est que la valeur absolue s'applique avant l'addition. Lire seulement |μ(E)| peut donner l'illusion que l'ensemble porte peu de masse : des contributions opposées se sont peut-être compensées. Le bon réflexe consiste à séparer les zones positives et négatives, ou à raffiner la partition, avant de conclure.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'espace fini X = {a, b, c}. La mesure signée μ attribue la masse 3 au point a, la masse −2 au point b et la masse 1 au point c. Une représentation par contributions séparées montre pourquoi le bilan signé et la variation ne racontent pas la même chose.
1. Sur la partition réduite à X, le calcul donne μ(X) = 3 − 2 + 1 = 2, donc |μ(X)| = 2.
2. Sur la partition en singletons {a}, {b}, {c}, la somme des valeurs absolues vaut 3 + 2 + 1 = 6.
3. Aucun découpage ne peut dépasser 6, puisque chaque morceau regroupe seulement ces trois masses. Ainsi |μ|(X) = 6.
2. Sur la partition en singletons {a}, {b}, {c}, la somme des valeurs absolues vaut 3 + 2 + 1 = 6.
3. Aucun découpage ne peut dépasser 6, puisque chaque morceau regroupe seulement ces trois masses. Ainsi |μ|(X) = 6.
La partie positive place les masses 3 et 1 sur a et c ; elle a donc une masse totale de 4. La partie négative place la masse positive 2 sur b. On vérifie μ(X) = 4 − 2 = 2 et |μ|(X) = 4 + 2 = 6. La partition {a, c}, {b} fournit aussi |4| + |−2| = 6 : le résultat est refaisable sans utiliser les singletons.
En pratique
Pour comparer un bilan signé à l'activité totale, on calcule μ(E) et |μ|(E). Si des contributions opposées sont présentes, |μ|(E) révèle ce que leur somme algébrique dissimule. Une simple valeur absolue |μ(E)| ne suffit pas.
Pour contrôler qu'une mesure signée a une variation totale finie, on étudie |μ| sur l'espace entier. Si cette masse est finie, les contributions positives et négatives ont chacune une masse finie ; sinon, il faut conserver la possibilité d'une variation totale infinie.
Pour isoler les deux signes, la décomposition de Jordan est préférable à une succession de partitions. Elle fournit directement μ+ et μ−, puis |μ| en les additionnant. Les partitions restent utiles pour lire la définition et vérifier un exemple fini.
À ne pas confondre
La mesure de variation |μ| est une mesure positive définie sur chaque ensemble mesurable. La variation totale est le nombre |μ|(X) obtenu sur l'espace entier X. Dans l'exemple, |μ|({a}) = 3 est une valeur locale, tandis que |μ|(X) = 6 est le total.
Il ne faut pas non plus confondre |μ|(E) avec |μ(E)|. La première quantité autorise une partition de E avant de sommer les valeurs absolues ; la seconde prend la valeur absolue après compensation. Sur X, elles valent respectivement 6 et 2.
Limites et pièges
Une partition trop grossière peut sous-estimer la variation. Dans l'exemple, la partition {X} donne seulement 2 après valeur absolue, alors que la séparation des signes donne 6. Il faut prendre le supremum sur toutes les partitions finies, pas choisir un découpage commode.
Un bilan nul ne signifie pas une variation nulle. Avec deux masses 3 et −3, la mesure de l'ensemble entier vaut 0, mais sa variation vaut 6. Lorsque μ(E) = 0, il faut donc vérifier si des contributions opposées se compensent dans E.
La variation totale n'est pas automatiquement finie. Si |μ|(X) est infinie, la mesure de variation reste l'objet pertinent, mais on ne peut pas traiter sa masse totale comme un nombre fini. Toute utilisation exige de vérifier cette finitude lorsqu'elle est nécessaire.
Pour une mesure déjà positive, le cas charnière est sans compensation : μ− = 0 et |μ| = μ. Introduire artificiellement des valeurs négatives ferait changer la mesure étudiée ; il suffit alors de conserver la mesure positive d'origine.
Pour aller plus loin
La fiche Mesure signée précise l'objet de départ et son additivité sur les ensembles mesurables.
La fiche Variation totale approfondit le passage de la mesure positive |μ| à sa masse sur l'espace entier.
La fiche Mesure complexe ouvre le cadre où les valeurs ne sont plus seulement réelles et signées.
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