Mutuellement singulières (mesures)

Imaginez deux façons de répartir une quantité sur une même ligne. La première ne met toute sa masse qu'au point 0, tandis que la seconde mesure les longueurs et ne donne aucun poids à ce point isolé. Elles vivent alors sur deux zones qui ne se recouvrent pas au sens de la mesure. On peut réserver une zone A au premier support et son complémentaire au second. Cette séparation spatiale est l'idée concrète de mesures mutuellement singulières.

Le mot « singulières » ne signifie pas que l'une des mesures est anormale. Il indique que chacune est concentrée là où l'autre ne compte rien. La mesure de Dirac en 0 et la mesure de Lebesgue donnent l'exemple de référence.

Soit (X, 𝒜) un espace mesurable, c'est-à-dire un ensemble X muni d'une famille 𝒜 de parties considérées comme mesurables. Deux mesures μ et ν sur cet espace sont mutuellement singulières, ce que l'on note μ ⟂ ν, lorsqu'il existe A ∈ 𝒜 tel que μ soit concentrée sur A et ν sur son complémentaire A^c. Les deux conditions s'écrivent : $\mu (A^c)=0\text{et}\nu (A)=0\backslash mu(A^c)=0\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\backslash nu(A)=0$. La première mesure ne voit donc rien hors de A, et la seconde ne voit rien dans A.

La relation est symétrique : si μ ⟂ ν, alors ν ⟂ μ, car A^c convient en échangeant les rôles. Elle ne demande pas que les mesures aient une masse totale finie. Lorsqu'une décomposition de Lebesgue d'une mesure ν par rapport à μ existe — notamment sous les hypothèses usuelles de sigma-finitude —, la partie absolument continue de ν peut coexister avec μ, tandis que la partie singulière est portée par un ensemble séparé de μ. La singularité mutuelle concerne précisément cette séparation, et non l'absence générale de relation entre les deux mesures.

On rencontre cette notion sur un espace mesurable, par exemple la droite réelle munie de ses ensembles mesurables usuels. Pour reconnaître la situation, on cherche deux supports séparés, un ensemble A et son complémentaire A^c, puis on observe où chaque mesure peut effectivement être non nulle. Une masse concentrée en un point, une mesure répartie sur un intervalle et des ensembles de mesure nulle sont des marqueurs utiles. Le support de la mesure de Dirac en 0 est le point {0}, alors que la mesure de Lebesgue attribue une longueur nulle à ce point.

Le support ne raconte pas toujours toute l'histoire : c'est la concentration mesurée qui compte. La question porte sur l'existence d'une séparation mesurable, pas seulement sur l'impression visuelle que deux régions sont éloignées.

Pour tester une singularité mutuelle, on lit les mesures sur un même espace et avec la même famille d'ensembles mesurables. On commence par proposer un ensemble A. On vérifie ensuite que μ ne donne aucune masse à A^c, puis que ν ne donne aucune masse à A. Enfin, on inverse les rôles ou l'on prend A^c pour vérifier que la séparation ne dépend pas du nom donné à la zone.

L'œil peut se tromper en voyant deux densités différentes et en concluant trop vite à la singularité. Deux mesures peuvent être très différentes tout en donnant une masse positive aux mêmes intervalles. Le bon réflexe consiste à chercher une zone mesurable qui porte entièrement l'une et exclut réellement l'autre, plutôt qu'à comparer seulement leurs valeurs point par point.

Sur X = ℝ, considérons μ = δ₀, la mesure de Dirac concentrée au point 0, et ν = λ, la mesure de Lebesgue. Nous choisissons A = {0}. La mesure δ₀ donne une masse égale à 1 à A et la mesure λ donne une longueur nulle à A.

La première condition est satisfaite, car le complémentaire de A ne contient pas le point où δ₀ est concentrée : ${\delta }_0(\mathbb{R}\setminus \{0\})=0\backslash delta\_0(\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash \{0\backslash \})=0$.

La seconde condition vient du fait qu'un point a une longueur nulle pour λ : $\lambda (\{0\})=0\backslash lambda(\backslash \{0\backslash \})=0$. Ainsi, A sépare exactement les deux mesures et l'on obtient δ₀ ⟂ λ. Le contrôle est direct : toute la masse de δ₀ est au point 0, tandis que λ ignore ce point isolé.

En théorie de la mesure, cette distinction permet de séparer une contribution portée par un ensemble négligeable pour une autre mesure. Le geste consiste à chercher l'ensemble mesurable qui porte la partie singulière, puis à vérifier les deux masses nulles.

Dans un calcul, la décomposition de Lebesgue est l'outil à privilégier lorsqu'une mesure contient à la fois une partie comparable à μ et une partie étrangère à μ. La singularité mutuelle décrit alors la seconde partie ; elle ne remplace pas l'analyse de la partie absolument continue.

Pour un exemple discret, on peut comparer une mesure concentrée sur un sous-ensemble de points avec une autre concentrée sur les points restants. Le critère observable reste le même : chaque mesure doit attribuer une masse nulle à la zone où l'autre est concentrée.

Mesures absolument continues. Dire que ν est absolument continue par rapport à μ signifie que tout ensemble de μ-mesure nulle a aussi une ν-mesure nulle. Cela ne sépare pas les supports : pour distinguer les deux notions, cherchez si ν peut au contraire être concentrée sur un ensemble dont μ ne voit rien.

Mesures différentes. Deux mesures peuvent attribuer des valeurs différentes au même intervalle sans être mutuellement singulières. Le cas tranche si aucun ensemble mesurable ne vérifie simultanément μ(A^c) = 0 et ν(A) = 0.

Mesures portées par des ensembles disjoints. La disjonction de deux ensembles choisis ne suffit que si chacun porte réellement toute la mesure correspondante. Une séparation géométrique partielle n'est pas une singularité mutuelle.

Une masse commune non séparable suffit à faire échouer le test. Le fait que μ et ν attribuent toutes deux une masse positive à une même région mesurable ne suffit pas, à lui seul, à exclure la singularité : cette région peut contenir deux sous-zones disjointes portant chacune la mesure correspondante. Le symptôme est l'impossibilité de trouver un ensemble mesurable A rendant simultanément nulles μ(A^c) et ν(A). Il faut alors examiner une éventuelle décomposition en parties absolument continue et singulière, plutôt que conclure à la singularité totale.

Un point n'est pas toujours négligeable. Pour la mesure de Lebesgue sur ℝ, le singleton {0} a une mesure nulle, mais une mesure atomique peut lui attribuer une masse positive. Le bon réflexe est de calculer la mesure de l'ensemble choisi pour chacune des deux mesures ; l'intuition tirée de la longueur seule ne suffit pas.

Les mesures nulles forment un cas dégénéré. Si l'une des mesures est identiquement nulle, le critère peut être satisfait très largement. Il faut donc préciser le cadre et ne pas interpréter cette réussite comme la preuve d'une séparation riche entre deux supports non nuls.

La dérivée de Radon-Nikodym prolonge cette lecture en décrivant la partie d'une mesure qui possède une densité par rapport à une autre. Elle permet de mettre en regard la composante absolument continue et la composante singulière dans la décomposition de Lebesgue.