AnalyseNotion · Glossaire
Variation totale
La variation totale d'une fonction f sur un intervalle [a, b] est la borne supérieure des sommes des variations absolues sur toutes les subdivisions de l'intervalle. Elle mesure les variations verticales cumulées de la fonction, ce qui fournit une analogie avec une longueur parcourue, sans coïncider en général avec la longueur géométrique du graphe. Une fonction est à variations bornées si et seulement si sa variation totale est finie. Pour les mesures, la variation totale est la norme naturelle sur l'espace des mesures signées bornées.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter la variation totale comme le cumul des changements absolus.
- Calculer une variation totale sur une fonction affine par morceaux.
- Distinguer variation totale, variation nette et longueur du graphe.
- Relier la finitude à la notion de fonction à variations bornées.
- Situer la variation totale dans le cadre des mesures signées bornées.
En clair
Imaginez une courbe qui monte de 1 à 4, redescend à 2, remonte à 5 puis finit à 3. Son déplacement net est seulement de 2, mais elle a cumulé 3 + 2 + 3 + 2 = 10 unités de montée et de descente.
La variation totale comptabilise tous ces changements sans laisser une hausse annuler une baisse. Plus une subdivision repère finement les oscillations, plus la somme obtenue peut révéler de mouvement.
Définition
Soit une fonction f définie sur l'intervalle [a, b]. Une subdivision choisit des points ordonnés x0 = a, x1, …, xn = b. On additionne la valeur absolue de chaque changement de f entre deux points consécutifs. La variation totale est la borne supérieure de ces sommes lorsque l'on considère toutes les subdivisions finies :
La fonction est dite à variations bornées sur [a, b] exactement lorsque cette borne est finie. Pour une fonction monotone, aucune oscillation n'est cachée : la variation totale vaut |f(b) − f(a)|. Pour une mesure signée bornée, la variation totale est elle-même une mesure positive ; sa masse sur tout l'espace fournit la norme naturelle de la mesure signée. La variation totale d'une fonction mesure ses variations verticales cumulées, et non la longueur géométrique exacte de son graphe.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction affine par morceaux dont le graphe relie successivement les points (0 ; 1), (1 ; 4), (2 ; 2), (3 ; 5) et (4 ; 3). Les abscisses sont déjà ordonnées de 0 à 4, et les cinq valeurs sont 1, 4, 2, 5 et 3. La ligne brisée rend visibles les quatre changements pris en compte.
1. Entre 0 et 1, la hausse vaut |4 − 1| = 3.
2. Entre 1 et 2, la baisse contribue |2 − 4| = 2.
3. Entre 2 et 3, la hausse contribue |5 − 2| = 3.
4. Entre 3 et 4, la baisse contribue |3 − 5| = 2.
2. Entre 1 et 2, la baisse contribue |2 − 4| = 2.
3. Entre 2 et 3, la hausse contribue |5 − 2| = 3.
4. Entre 3 et 4, la baisse contribue |3 − 5| = 2.
La somme est donc 3 + 2 + 3 + 2 = 10. Comme la fonction est monotone sur chacun des quatre segments, ajouter des points à la subdivision ne peut pas augmenter cette somme. Sa variation totale sur [0, 4] vaut exactement 10. Le contrôle consiste à additionner séparément les hausses, 6, et les baisses en valeur absolue, 4 : on retrouve 6 + 4 = 10.
En pratique
Pour une courbe affine par morceaux, on relève les valeurs à chaque changement de pente, puis on additionne les écarts absolus successifs. Le seul écart entre la valeur finale et la valeur initiale convient plutôt lorsque l'on cherche le bilan net.
Pour décider si une fonction est à variations bornées, on cherche une borne commune à toutes les sommes obtenues par subdivision. Si des subdivisions révèlent des sommes arbitrairement grandes, la variation totale est infinie.
Pour une mesure signée bornée, on utilise la variation totale lorsque les contributions positives et négatives ne doivent pas se compenser. La masse signée convient au bilan algébrique ; la masse de la variation totale mesure leur ampleur cumulée.
À ne pas confondre
Variation nette. Elle vaut f(b) − f(a) et conserve les signes, tandis que la variation totale additionne les valeurs absolues. Dans l'exemple, la variation nette vaut 3 − 1 = 2, mais la variation totale vaut 10.
Longueur du graphe. La longueur tient compte à la fois du déplacement horizontal et du déplacement vertical. La variation totale de la fonction ne cumule que les changements de ses valeurs ; même pour un segment oblique, ces deux grandeurs diffèrent en général.
Limites et pièges
Subdivision trop grossière. Sur l'exemple, ne garder que les extrémités 0 et 4 donne |3 − 1| = 2. Ce résultat sous-estime la variation totale, car il efface les oscillations intermédiaires ; il faut considérer la borne supérieure sur toutes les subdivisions.
Raffinement mal interprété. Ajouter des points ne diminue pas la somme des écarts absolus, mais une subdivision particulière ne suffit pas toujours à atteindre la borne supérieure. Il faut distinguer une somme associée à une subdivision de la variation totale elle-même.
Oscillations sans borne. Une fonction peut rester bornée tout en accumulant une variation infinie. Le symptôme est l'existence de subdivisions dont les sommes dépassent toute borne fixée ; la fonction n'est alors pas à variations bornées.
Intervalle réduit à un point. Si a = b, aucun changement n'est parcouru et la variation totale vaut 0. Cette valeur charnière ne renseigne pas sur le comportement de la fonction sur un intervalle plus grand.
Pour aller plus loin
La fiche Subdivision d'un segment précise l'outil qui découpe l'intervalle et fait apparaître les changements successifs.
La fiche Mesure signée présente le cadre dans lequel la variation totale devient une mesure positive associée.
La fiche norme aide à interpréter la masse totale d'une mesure signée comme une grandeur de taille.
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