AnalyseNotion · Glossaire
Rectifiable (arc)
Un arc (ou courbe) est rectifiable si sa longueur est finie. Pour la définir, on approche le tracé par des lignes polygonales inscrites et l'on considère l'ensemble de leurs longueurs. La suite précise le critère de variation bornée et, dans le cas C1, le calcul de la longueur par une intégrale.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la longueur comme borne supérieure des polygones inscrits.
- Relier rectifiabilité et variation bornée.
- Calculer la longueur d'un quart de cercle par l'intégrale de la norme de sa dérivée.
- Distinguer longueur finie, image bornée et régularité d'une paramétrisation.
En clair
Imaginez un fil posé sur une courbe. Pour en estimer la longueur, on relie des points successifs par de petits segments, puis on additionne leurs longueurs. En ajoutant des points, la ligne brisée épouse de mieux en mieux le tracé.
La courbe est rectifiable lorsque toutes ces approximations restent sous une même borne finie. Leur meilleure valeur possible est alors la longueur de la courbe. Un tracé peut donc tenir dans une zone bornée tout en n'étant pas rectifiable s'il accumule une longueur infinie.
Définition
On considère une fonction continue f qui paramètre une courbe lorsque le paramètre t parcourt l'intervalle [a, b]. Une subdivision choisit des valeurs ordonnées a = t0 < t1 < … < tn = b. Les points correspondants de la courbe forment une ligne polygonale inscrite.
La longueur L de l'arc est la borne supérieure des longueurs de toutes ces lignes polygonales :
La courbe paramétrée est rectifiable lorsque cette borne supérieure est finie. Ce critère équivaut à dire que f est à variation bornée sur [a, b].
Si f est de classe C1, sa dérivée f′ est continue et l'arc est rectifiable. Sa longueur se calcule alors par . La condition C1 est suffisante, mais elle n'est pas nécessaire : une courbe présentant un nombre fini d'angles peut aussi avoir une longueur finie.
Un exemple, pas à pas
Considérons le quart du cercle unité allant du point (1, 0) au point (0, 1). Il est paramétré par f(t) = (cos t, sin t), avec t compris entre 0 et π/2. Le rayon vaut 1.
1. Avec les deux extrémités seulement, le polygone inscrit est une corde. Sa longueur vaut , soit environ 1,414.
2. En ajoutant le point de paramètre π/4, on obtient deux cordes égales. Leur longueur totale est , soit environ 1,531.
3. Avec huit cordes correspondant à des angles égaux, la longueur polygonale vaut , soit environ 1,568. Les polygones inscrits se rapprochent ainsi de l'arc sans le dépasser.
4. La dérivée est f′(t) = (−sin t, cos t), dont la norme vaut 1. La formule intégrale donne donc , soit environ 1,571.
Le contrôle est immédiat : 1,414 < 1,531 < 1,568 < 1,571. Les approximations polygonales croissent vers la longueur exacte π/2 du quart de cercle.
En pratique
Pour une courbe donnée par des points mesurés, on additionne les distances entre points successifs. En densifiant l'échantillonnage, on surveille si le total se stabilise. Ce calcul fournit une approximation, pas à lui seul une preuve de rectifiabilité.
Pour une paramétrisation de classe C1, on préfère l'intégrale de la norme de la dérivée : elle donne la longueur exacte lorsque l'intégrale peut être évaluée. Pour le quart de cercle unité, la vitesse vaut constamment 1 et la longueur est π/2.
Lorsqu'une courbe comporte quelques angles, on la découpe en morceaux réguliers et on additionne leurs longueurs. Cette approche convient mieux qu'une formule globale si la dérivée n'existe pas aux points de raccord.
À ne pas confondre
Rectifiable et régulière. La rectifiabilité porte sur la finitude de la longueur ; la régularité d'une paramétrisation exige habituellement une dérivée non nulle. La courbe constante a une longueur nulle, donc finie, mais sa dérivée est nulle partout.
Longueur finie et image bornée. Une image bornée reste dans une région limitée, sans que le chemin parcouru soit nécessairement fini. La spirale f(t) = (t cos(1/t), t sin(1/t)) pour t > 0, prolongée par f(0) = (0, 0), reste dans le disque unité mais possède une longueur infinie près de 0.
Limites et pièges
La continuité ne suffit pas. Une courbe continue peut accumuler des oscillations ou des tours de plus en plus nombreux. Si les longueurs polygonales ne sont pas bornées, il faut conclure qu'elle n'est pas rectifiable, même si son image tient dans un disque.
C1 est une condition suffisante, non nécessaire. Un segment brisé avec un nombre fini de côtés est rectifiable malgré l'absence de dérivée aux sommets. On calcule alors la longueur morceau par morceau au lieu d'imposer une dérivée continue partout.
Le parcours compte. Une reparamétrisation continue, monotone et surjective sur tout l'intervalle de paramètres conserve la longueur géométrique, mais un aller-retour ajoute du chemin. Le quart de cercle unité parcouru une fois mesure π/2 ; parcouru jusqu'au bout puis en sens inverse, il totalise π.
Une approximation stable n'est pas une preuve. Quelques échantillons peuvent masquer des oscillations entre deux points. Il faut contrôler toutes les subdivisions, établir la variation bornée ou utiliser une hypothèse suffisante telle que la régularité C1 par morceaux.
Pour aller plus loin
La notion d'arc précise l'objet géométrique dont la rectifiabilité autorise une longueur finie.
Une fois l'arc rectifiable, sa longueur depuis une origine peut servir de nouveau paramètre : c'est l'abscisse curviligne. Pour une paramétrisation régulière, ce changement de variable décrit la courbe à vitesse unitaire et sépare la forme du rythme de parcours.
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