arc

Sur un cercle, marquez deux points A et B. La partie courbe suivie de A jusqu’à B est un arc de courbe. Les points A et B en sont les extrémités, mais le cercle offre deux chemins possibles entre eux.

Dans un graphe orienté, une flèche de A vers B est aussi un arc. Son sens fait partie de l’objet : la flèche de B vers A serait un autre arc. Le même mot décrit donc une portion continue en géométrie et une liaison dirigée en théorie des graphes.

En analyse et en géométrie, dans le cadre usuel d’une courbe simple, un arc est une portion connexe de cette courbe délimitée par deux points appelés extrémités. La connexité signifie que cette portion reste d’un seul tenant le long de la courbe. Sur une courbe fermée simple comme un cercle, deux extrémités distinctes déterminent généralement deux portions possibles : il faut alors préciser celle que l’on suit, par exemple l’arc supérieur de A à B.

En théorie des graphes, considérons deux sommets nommés u et v. Dans un graphe orienté, l’arc allant de u vers v est le couple ordonné $(u,v)(u,v)$. Le premier sommet est l’origine et le second l’extrémité de la liaison. L’ordre compte : $(u,v)\mathrm{\ne }(v,u)(u,v)\backslash neq(v,u)$ en général, et la présence de l’un n’entraîne pas celle de l’autre.

Dans un graphe non orienté, la liaison n’a pas de sens de parcours imposé et porte le nom d’arête. Les deux acceptions du mot « arc » ne décrivent donc pas le même objet : la première sélectionne une partie continue d’une courbe, tandis que la seconde encode une direction entre deux sommets.

Prenons les mêmes étiquettes A et B dans deux dessins indépendants. Les données sont un cercle portant A et B, l’arc supérieur coloré entre ces points, puis un graphe orienté possédant les sommets A, B et C ainsi qu’une flèche de A vers B.

1. Sur le cercle, partez de A et suivez la courbe par le haut jusqu’à B.
2. La portion parcourue est connexe et ses extrémités sont A et B : c’est l’arc de courbe choisi.
3. Le trajet inférieur relie aussi A à B ; la seule donnée des extrémités ne suffit donc pas à sélectionner l’un des deux arcs du cercle.

4. Dans le graphe, l’origine de la flèche est A et son extrémité est B : elle représente l’arc ordonné $(A,B)(A,B)$.
5. Parcourez la flèche dans son sens pour contrôler la lecture. Elle conduit de A vers B, jamais de B vers A.

Le contrôle final porte sur le support : une portion tracée le long d’une courbe relève du sens géométrique ; une liaison munie d’une direction entre deux sommets relève de la théorie des graphes.

En géométrie, pour nommer une partie d’un cercle ou d’une autre courbe, repérez ses deux extrémités puis indiquez le côté ou le trajet suivi s’il existe plusieurs possibilités. Une corde convient plutôt lorsque l’objet étudié est le segment droit joignant les extrémités.

Dans un schéma de graphe orienté, lisez d’abord la pointe de la flèche. Pour une flèche de A vers B, notez l’arc (A, B). Si aucune pointe n’impose de sens, le vocabulaire d’un graphe non orienté et le mot « arête » sont préférables.

Dans une liste de liaisons, conservez l’ordre des sommets. Pour vérifier l’existence d’un déplacement de B vers A, cherchez explicitement le couple (B, A) au lieu de retourner automatiquement le couple (A, B).

Arc de cercle et corde. L’arc suit la courbure du cercle, tandis que la corde est le segment droit qui joint les mêmes extrémités. Entre A et B, un tracé courbe sur le cercle est un arc ; le trait rectiligne AB est une corde.

Arc et arête d’un graphe. Un arc possède une origine et une extrémité ordonnées ; une arête ne fixe pas de direction. Une liaison représentée par une flèche de A vers B est l’arc (A, B), tandis qu’un trait sans flèche entre A et B représente une arête.

Deux extrémités ne sélectionnent pas toujours un arc unique. Sur un cercle, A et B découpent la courbe en deux arcs. Si un énoncé donne seulement leurs noms, le symptôme est l’existence de deux trajets valides ; il faut préciser le côté, le sens ou un point intermédiaire.

Retourner un couple change la direction. Dans un graphe orienté, lire (A, B) comme une liaison utilisable de B vers A efface l’ordre. Il faut chercher un second arc (B, A) avant d’affirmer que le retour est possible.

Boucles et arcs multiples dépendent du modèle. Un dessin peut montrer une flèche revenant au même sommet ou plusieurs flèches de même origine et de même extrémité. Le simple ensemble de couples ordonnés ne distingue pas toujours ces multiplicités ; il faut vérifier les conventions du graphe employé.

Graphe orienté et non-orienté — Pour approfondir le rôle des flèches et la différence entre arcs dirigés et arêtes sans orientation.