AnalyseNotion · Glossaire
Extrémité
En géométrie, les extrémités d'un segment sont les deux points qui le délimitent. Plus généralement, pour un arc injectif paramétré sur l'intervalle [0,1], les extrémités sont les images de 0 et de 1. En théorie des graphes, les extrémités d'une arête sont les deux sommets qu'elle relie. Dans un graphe infini, une extrémité n'est pas un sommet : elle représente une classe de chemins infinis qui restent reliés lorsqu'on retire un ensemble fini de sommets.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les deux extrémités d'un segment et d'un arc de courbe.
- Distinguer les extrémités d'une arête non orientée des rôles initial et terminal d'un arc orienté.
- Recompter les demi-degrés entrant et sortant sur un exemple à trois sommets.
- Identifier les cas particuliers du segment dégénéré, de la boucle et du graphe infini.
En clair
Tracez un trait entre deux points nommés A et B. A et B sont ses extrémités : ils indiquent où le segment commence et où il finit. Si le trait se courbe sans se refermer, ses deux bouts jouent le même rôle pour l'arc de courbe.
Dans un graphe, le dessin peut changer, mais les connexions ne changent pas. Une arête reliant les sommets A et B a A et B pour extrémités. Si elle est orientée de A vers B, A devient l'extrémité initiale et B l'extrémité terminale.
Définition
Une extrémité est un point distingué qui borne un objet à une dimension ou auquel une liaison est incidente. Pour le segment noté [AB], les extrémités sont A et B. Pour un arc dans un espace topologique X, un paramétrage nommé gamma est un homéomorphisme de l'intervalle [0, 1] sur cet arc : . Les images gamma(0) et gamma(1) sont les deux extrémités. Cette définition dépend de l'arc considéré, et non de la seule apparence de son tracé.
Dans un graphe non orienté, une arête e relie deux sommets u et v ; ses extrémités sont u et v, sans ordre. Dans un graphe orienté, la liaison est un arc ordonné allant de u vers v : u est l'extrémité initiale, ou source de cet arc, et v son extrémité terminale, ou cible. Le demi-degré sortant d'un sommet compte les arcs qui en partent ; le demi-degré entrant compte ceux qui y arrivent.
Dans certains graphes, une boucle a deux extrémités confondues au même sommet. Pour un graphe infini, le mot « extrémité » prend un autre sens. Deux chemins simples infinis représentent la même extrémité si, après le retrait de n'importe quel ensemble fini de sommets, des portions finales de ces chemins restent dans une même composante connexe. Une telle extrémité décrit une direction vers l'infini ; ce n'est pas un sommet du graphe.
Un exemple, pas à pas
On utilise les points A et B dans trois objets, puis on considère un troisième sommet C. Les données sont le segment [AB], un arc de courbe paramétré de A vers B, et un graphe orienté contenant les arcs A → B, C → B et B → C.
1. Sur le segment [AB], les deux points qui délimitent le trait sont A et B. Ce sont ses extrémités, quel que soit l'endroit où le segment est dessiné.
2. Sur l'arc paramétré de A vers B, A est l'image du paramètre 0 et B celle du paramètre 1. La courbure du tracé n'ajoute aucune extrémité.
3. Pour l'arc A → B du graphe, A est l'extrémité initiale et B l'extrémité terminale. Les deux autres arcs montrent que B reçoit aussi C → B et émet B → C.
4. Au sommet B, le demi-degré entrant vaut 2 et le demi-degré sortant vaut 1. Le contrôle consiste à compter les pointes de flèche : deux visent B et une seule part de B. Le schéma permet aussi de vérifier que les trois objets conservent A et B comme points de bout, tout en leur donnant des rôles différents.
En pratique
En géométrie, nommer les extrémités fixe un segment sans dépendre de son orientation sur la feuille. Pour désigner seulement l'une des deux demi-droites issues de A, il faut au contraire préciser son origine et un point qui donne sa direction.
Pour décrire une portion de courbe ouverte, on indique ses deux extrémités et, si nécessaire, son paramétrage. Si la courbe est fermée, il vaut mieux parler de courbe fermée que lui attribuer deux bouts visibles qui n'existent pas.
Dans un réseau modélisé par un graphe, les extrémités indiquent quels sommets une liaison met en relation. Lorsque les liaisons portent un sens, les extrémités initiale et terminale permettent de compter séparément les arrivées et les départs.
À ne pas confondre
Extrémité et milieu d'un segment. Une extrémité délimite le segment ; le milieu est l'unique point du segment situé à égale distance des deux extrémités. Dans [AB], A et B sont les extrémités, jamais le milieu lorsque A et B sont distincts.
Sommet d'un graphe et extrémité d'une arête. Un sommet appartient au graphe indépendamment d'une arête particulière. Il devient extrémité relativement à chaque arête qui lui est incidente ; un sommet isolé n'est l'extrémité d'aucune arête.
Extrémité d'une arête et extrémité d'un graphe infini. La première est un sommet incident à une liaison. La seconde représente une direction vers l'infini : dans une grille infinie, elle ne se repère donc pas comme un sommet terminal.
Limites et pièges
Les deux noms peuvent désigner un seul point. Dans le segment dégénéré [AA], les deux extrémités nommées coïncident et l'ensemble ne contient qu'un point. Il faut signaler A = B au lieu de parler de deux points distincts.
Une courbe fermée n'a pas deux bouts intrinsèques. Un paramétrage peut choisir un point de départ et un point d'arrivée identiques, mais ce choix ne crée pas deux extrémités géométriques. Il faut distinguer un arc, image injective de [0, 1], d'une courbe fermée.
Une boucle compte deux incidences. Lorsque les boucles sont autorisées, ses deux extrémités coïncident. Dans un graphe non orienté, elle contribue alors pour 2 au degré du sommet ; dans un graphe orienté, elle contribue pour 1 à chacun des demi-degrés entrant et sortant.
Le dessin ne décide pas des extrémités. Le croisement visuel de deux arêtes n'est un sommet que si la structure du graphe le déclare. Il faut lire les sommets et les incidences donnés, plutôt que déduire une connexion de la seule intersection des traits.
Pour aller plus loin
arc — Préciser la portion de courbe dont les images des paramètres 0 et 1 forment les extrémités.
arête d'un graphe — Replacer les extrémités dans la liaison non orientée qu'elles déterminent.
Graphe orienté et non-orienté — Distinguer les extrémités sans ordre des rôles initial et terminal.
degré d'un sommet d'un graphe — Relier les incidences aux degrés et aux demi-degrés entrant et sortant.
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