paradoxe de Schwarz

Imaginez une étiquette parfaitement lisse enroulée autour d'une boîte cylindrique. On la remplace par une peau faite de petits triangles dont tous les sommets touchent le cylindre. Même si ces triangles deviennent de plus en plus fins, leur aire totale ne se rapproche pas forcément de celle de l'étiquette.

Tout dépend du rythme auquel on resserre le quadrillage autour du cylindre et dans sa hauteur. Des triangles très étroits peuvent rester légèrement inclinés ; multiplié par leur très grand nombre, ce petit excès produit une aire limite trop grande, voire sans limite.

Le paradoxe de Schwarz est l'échec d'une définition naïve de l'aire d'une surface gauche par approximation polyédrique. Une surface gauche est ici une surface non plane située dans l'espace à trois dimensions. Pour les courbes, la méthode d'Archimède fait converger vers la longueur des lignes polygonales inscrites dont le pas tend vers zéro. Pour une surface, imposer seulement que les faces triangulaires deviennent petites ne suffit pas.

Le contre-exemple porte sur la surface latérale d'un cylindre circulaire droit. Son rayon est noté R et sa hauteur H. On place sur le cylindre les sommets d'un maillage en antiprismes triangulaires, puis on augmente le nombre de subdivisions. L'aire latérale lisse vaut $2\pi RH2\backslash pi\; RH$. Pourtant, selon la relation entre les subdivisions autour du cylindre et celles suivant sa hauteur, les aires des polyèdres inscrits peuvent converger vers toute valeur finie au moins égale à cette aire, ou diverger vers l'infini.

Hermann Schwarz a établi ce contre-exemple au début des années 1890 contre l'extension proposée par Serret en 1879. Le paradoxe ne nie donc pas l'existence d'une aire du cylindre : il montre que cette procédure d'approximation, sans condition supplémentaire, ne la définit pas. Peano et Lebesgue ont notamment travaillé à des définitions correctes de l'aire des surfaces gauches.

Considérons un cylindre de rayon R et de hauteur H. Autour de chaque cercle, prenons n secteurs réguliers ; suivant la hauteur, prenons m étages, en décalant d'un demi-secteur les sommets de deux niveaux consécutifs. L'aire totale A_n,m des 2nm triangles est alors : Si n et m tendent vers l'infini, la limite dépend du rapport entre m et n² ; la petitesse des triangles ne détermine donc pas, à elle seule, l'aire du cylindre.

Le contre-exemple s'applique à la surface latérale d'un cylindre circulaire droit, avec un rayon R et une hauteur H strictement positifs. Les sommets du polyèdre sont inscrits sur le cylindre. Chaque niveau comporte n secteurs réguliers et deux niveaux successifs sont décalés d'un demi-secteur. Enfin, n et m doivent tous deux tendre vers l'infini : les faces deviennent ainsi petites dans les deux directions.

Le rapport m/n² est décisif. S'il tend vers zéro, les aires retrouvent 2πRH. S'il tend vers une constante strictement positive, elles convergent vers une valeur plus grande. S'il tend vers l'infini, elles divergent. Un maillage raffiné sans contrôle de ce rapport est donc un contre-cas concret : il faut employer une définition de l'aire assortie de conditions qui excluent ces triangles de plus en plus inclinés.

Prenons un cylindre de rayon R = 1 et de hauteur H = 1. Pour chaque entier n, le maillage compte n secteurs autour du cylindre et m = n² étages dans la hauteur. Son aire latérale lisse vaut exactement 2π, soit environ 6,28.

1. Pour n = 4, on a m = 16. La formule de l'aire triangulée donne A_4,16 ≈ 27,11.

2. Pour n = 8, on a m = 64 et A_8,64 ≈ 30,45.

3. Pour n = 16, on a m = 256 et A_16,256 ≈ 31,34. Les triangles sont plus petits, mais l'aire ne revient pas vers 6,28.

4. Comme m/n² = 1 à chaque étape, les aires tendent vers :

Le contrôle est immédiat : 31,64 est environ 5,04 fois 2π. La comparaison des trois valeurs avec ces deux niveaux rend visible une convergence cohérente, mais vers la mauvaise aire.

Lorsqu'un logiciel remplace une surface courbe par des triangles, réduire la taille maximale des faces ne constitue pas, à lui seul, un contrôle de l'aire. Il faut aussi surveiller leur forme et leur inclinaison par rapport à la surface.

Pour tester une suite de maillages cylindriques, on compare l'aire calculée à 2πRH et on observe son évolution quand les subdivisions augmentent. Une aire qui se stabilise au-dessus de cette valeur révèle que le raffinement choisi conserve un biais.

Dans une démonstration, la bonne question n'est donc pas seulement « les triangles deviennent-ils petits ? ». Il faut identifier les hypothèses géométriques qui garantissent que l'aire des approximations converge vers celle de la surface.

Le paradoxe de Schwarz ne se confond pas avec une erreur dans la formule 2πRH. Cette formule donne bien l'aire latérale du cylindre lisse ; c'est la somme des aires triangulaires qui peut avoir une autre limite. Pour trancher, on demande donc si l'on mesure la surface elle-même ou un polyèdre inscrit particulier.

Il ne se confond pas non plus avec l'approximation polygonale de la longueur d'une courbe rectifiable. Dans ce second problème, les longueurs des lignes polygonales inscrites associées à des partitions de la paramétrisation dont le pas tend vers zéro convergent vers la longueur de la courbe. Le cas qui tranche est précisément le cylindre : la procédure analogue avec des triangles ne possède pas la même garantie.

Le piège principal consiste à prendre « le diamètre maximal des triangles tend vers zéro » pour une garantie suffisante. Le symptôme est une aire qui se stabilise au-dessus de 2πRH ou continue d'augmenter. Il faut contrôler la géométrie du maillage, et pas seulement la taille de ses faces.

Le cas charnière est gouverné par m/n². Une limite nulle redonne 2πRH ; une limite strictement positive produit une aire supérieure ; une croissance sans borne fait diverger l'aire. Ainsi, augmenter simultanément n et m ne précise pas le résultat tant que leur vitesse relative reste inconnue.

Une valeur limite trop grande n'implique pas que la surface lisse possède plusieurs aires. Elle signale l'insuffisance de la procédure choisie. Il faut revenir à une définition de l'aire des surfaces gauches qui élimine cette dépendance au mode de subdivision.

Le polyèdre aide à préciser la nature des approximations inscrites utilisées dans le contre-exemple.