Cavalieri Bonaventura

En 1635, en Italie, Bonaventura Cavalieri publie une manière nouvelle de comparer des figures. Imaginez deux piles de cartes de même hauteur : l'une reste droite, l'autre est poussée de côté. À chaque étage, une carte de même aire apparaît ; le volume total ne change donc pas. Cette intuition résume le principe de Cavalieri. Sa méthode des indivisibles traite aussi une surface comme une collection de lignes et un solide comme une collection de surfaces, annonçant le calcul intégral.

Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) est un mathématicien, astronome et prêtre italien né à Milan. Formé en théologie au monastère de San Gerolamo et en géométrie à l'université de Pise, il se lie avec Galilée et entretient avec lui une correspondance d'au moins cent douze lettres.

Son apport le plus célèbre est la méthode des indivisibles, exposée en 1635 dans la Geometria indivisibilium continuorum nova quadam ratione promota. Elle compare des surfaces au moyen de familles de lignes et des solides au moyen de familles de sections, sans formuler les passages à la limite du calcul intégral moderne. Cavalieri connaissait les paradoxes possibles de cette démarche ; Torricelli en proposa une version améliorée.

Le principe de Cavalieri affirme que deux solides compris entre deux plans parallèles ont le même volume si, à chaque hauteur, leurs sections par un plan parallèle au plan de référence ont la même aire. Le principe avait déjà été énoncé par Liu Hui au III^e siècle en Chine. Cavalieri travailla aussi sur les sections coniques en 1632, la trigonométrie plane et sphérique à usage astronomique en 1635, ainsi que sur des démonstrations des théorèmes attribués à Guldin.

On rencontre Cavalieri dans l'histoire des mathématiques du XVII^e siècle, entre la géométrie antique et le futur calcul intégral. Quatre repères permettent de le situer : Milan, où il naît ; Pise, où il étudie la géométrie ; sa correspondance avec Galilée ; et l'année 1635, associée à la publication de sa méthode des indivisibles. Son nom demeure attaché à un principe de comparaison des volumes par sections parallèles. Il apparaît aussi dans l'histoire des sections coniques, de la trigonométrie pour l'astronomie et des théorèmes attribués à Guldin.

Le principe compare l'aire des sections situées à une même hauteur. Pour l'appliquer, on suit trois repères.
1. On choisit un même plan de référence pour les deux solides et on vérifie qu'ils sont compris entre deux plans parallèles séparés par la même hauteur.
2. À une hauteur donnée, on coupe les deux solides par des plans parallèles au plan de référence.
3. On compare les aires obtenues pour chaque hauteur ; si elles sont toujours égales, les volumes le sont aussi.

L'œil peut croire qu'un solide incliné contient davantage parce qu'il s'étale latéralement. Cette largeur apparente n'est pas le bon critère : il faut contrôler la hauteur commune et l'aire de chaque section parallèle. La figure des deux cylindres matérialise ce réflexe.

Comparons un cylindre droit et un cylindre oblique. Chacun possède une base circulaire de rayon 2 cm et une hauteur perpendiculaire de 3 cm. À toute hauteur comprise entre les deux plans de base, la section parallèle est un disque de rayon 2 cm.

1. L'aire commune d'une section, notée A, vaut exactement : $A=\pi \times 2^2=4\pi A=\backslash pi\backslash times\; 2^2=4\backslash pi$ cm².

2. Les sections ont donc la même aire à chacune des hauteurs, de 0 à 3 cm. Le principe de Cavalieri garantit que les deux volumes sont égaux.

3. Avec la hauteur h égale à 3 cm, chaque volume V est : $V=A\times h=4\pi \times 3=12\pi V=A\backslash times\; h=4\backslash pi\backslash times\; 3=12\backslash pi$ cm³. Le contrôle est refaisable : aire de base multipliée par hauteur donne bien 12π cm³ pour chaque cylindre, quelle que soit l'inclinaison du second tant que ses bases restent dans les mêmes plans parallèles.

Pour comparer deux solides, on cherche d'abord des sections parallèles de même aire. Lorsque cette égalité se vérifie à toute hauteur, le principe de Cavalieri remplace avantageusement un calcul direct de volume.

Pour un prisme ou un cylindre oblique, on mesure la hauteur perpendiculaire entre les plans de base, et non la longueur d'une arête inclinée. Un calcul géométrique direct reste préférable si les sections ne se correspondent pas.

En histoire des mathématiques, la méthode des indivisibles sert à repérer une étape vers le calcul intégral. Pour une démonstration moderne exigeant des limites explicites, on emploie plutôt les outils rigoureux de l'intégration.

Le principe de Cavalieri n'est pas la méthode des indivisibles. Le premier donne un critère d'égalité de volumes par comparaison de sections ; la seconde est une démarche plus générale pour calculer ou comparer aires et volumes. Dans l'exemple des deux cylindres, conclure à l'égalité des volumes relève du principe.

Le principe ne se confond pas non plus avec la formule « aire de base × hauteur ». Cette formule calcule directement le volume de certains solides ; le principe établit l'égalité de deux volumes lorsque les aires des sections correspondantes coïncident.

Une seule paire de sections égales ne suffit pas. Même l'égalité à plusieurs hauteurs choisies laisse un doute : le critère porte sur chaque hauteur comprise entre les deux plans de référence. Si une hauteur produit des aires différentes, le principe ne permet plus de conclure.

Les sections doivent être comparées à la même hauteur et parallèlement au même plan de référence. Dans l'exemple, une coupe oblique du second cylindre ne serait pas la section correspondante exigée par le principe ; il faut comparer des coupes parallèles aux bases.

Les « indivisibles » ne constituent pas une décomposition moderne, rigoureuse, d'une surface en lignes ou d'un solide en surfaces. Cavalieri connaissait les paradoxes possibles de sa méthode, et Torricelli en proposa une version améliorée. Pour établir un résultat dans le cadre actuel, on explicite les limites ou l'intégration employées.

Enfin, le nom du principe ne vaut pas affirmation de priorité absolue : la source signale que Liu Hui l'avait déjà énoncé au III^e siècle en Chine. Le bon réflexe historique consiste à distinguer l'appellation reçue de la première formulation connue.

La méthode des indivisibles ouvre une question féconde : comment passer d'une intuition fondée sur une infinité de sections à un calcul intégral formulé avec des limites ? Cette transition éclaire la place de Cavalieri entre géométrie classique et analyse moderne.

Galilée — Situer le savant avec lequel Cavalieri échangea au moins cent douze lettres et partagea la conviction héliocentrique.