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principe de Cavalieri

Le principe de Cavalieri affirme que deux solides compris entre deux plans parallèles ont le même volume si, à chaque hauteur, leurs sections par des plans parallèles à ces deux plans ont la même aire. Dans le plan, deux figures comprises entre deux droites parallèles ont la même aire si toutes leurs sections parallèles correspondantes ont la même longueur. Il permet ainsi de comparer ou de calculer des aires et des volumes en les envisageant comme des empilements de tranches.

À chaque hauteur, le disque et le rectangle ont la même aire 9π cm² ; les deux solides ont donc le même volume.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Identifier les hypothèses nécessaires du principe dans le plan et dans l'espace.
Vérifier l'égalité de deux volumes sur un exemple chiffré.
Repérer les erreurs liées à une seule coupe ou à un mauvais usage des indivisibles.

En clair

Imaginez un cylindre et un prisme posés entre deux plans horizontaux. À chaque hauteur, on les coupe par un plan parallèle à leur base. Les tranches obtenues peuvent avoir des formes différentes, mais si elles ont toujours la même aire, les deux solides occupent le même volume.

Le principe de Cavalieri remplace ainsi une comparaison globale difficile par une série de comparaisons locales, comme si l'on confrontait deux piles tranche après tranche.

Définition

Le principe de Cavalieri est une règle de comparaison des aires et des volumes. Dans le plan, deux surfaces placées entre les mêmes droites parallèles ont la même aire lorsque toute droite parallèle à celles-ci détermine, dans chaque surface, une section de même longueur totale. Dans l'espace, deux solides placés entre les mêmes plans parallèles ont le même volume lorsque tout plan parallèle à ces plans détermine, dans chacun d'eux, des sections de même aire.

Pour une hauteur donnée notée h, on note A₁(h) et A₂(h) les aires des deux sections. La condition et sa conclusion s'écrivent :

A_1(h)=A_2(h)\text{ pour toute hauteur }h\;\Longrightarrow\;V_1=V_2

. Comparer une seule coupe, les bases seules ou les hauteurs seules ne suffit pas.

Historiquement, la méthode des indivisibles imagine une surface comme une juxtaposition de segments et un solide comme un empilement de surfaces infiniment minces. La source signale une formulation antérieure chez Liu Hui au III^e siècle. Cette intuition préfigure le calcul intégral, mais le traitement non rigoureux des indivisibles et des sommes infinies peut produire des paradoxes.

Où on le rencontre

On rencontre le principe de Cavalieri dans un problème où deux surfaces ou deux solides doivent être comparés sans être découpés en pièces identiques. Plusieurs indices le signalent : les objets sont compris entre des droites ou des plans parallèles, les coupes sont prises dans une direction fixe, elles se correspondent à la même hauteur et leurs longueurs ou leurs aires sont comparées.

Le support porte donc une information locale — la mesure de chaque section — qui permet d'établir une information globale : l'égalité des aires dans le plan ou des volumes dans l'espace.

Le mode d'emploi

La grandeur à lire est la longueur d'une section dans le plan, ou son aire dans l'espace. Pour comparer le cylindre et le prisme de l'exemple, on procède dans un référentiel commun, avec la base comme origine des hauteurs.

1. On vérifie que les deux solides ont la même hauteur, ici 5 cm.
2. On choisit une hauteur quelconque entre 0 et 5 cm.
3. On coupe les deux solides par des plans parallèles aux bases, à cette même hauteur.
4. On compare les aires obtenues et l'on recommence mentalement pour toute hauteur.

L'œil peut croire qu'une section circulaire et une section rectangulaire ne sont pas comparables. Leur forme n'est pourtant pas le critère : seule leur aire compte. Le bon réflexe consiste à vérifier l'égalité à chaque hauteur, et non sur une coupe choisie parce qu'elle paraît convaincante.

Un exemple, pas à pas

On compare un cylindre droit à un prisme droit. Les données sont les suivantes : le cylindre a un rayon de 3 cm ; le prisme a une base rectangulaire de côtés 3 cm et 3π cm ; chaque solide mesure 5 cm de haut.

1. Toute section du cylindre parallèle à sa base est un disque de rayon 3 cm. Son aire vaut

\pi\times3^2=9\pi\;\mathrm{cm}^2

.
2. Toute section du prisme parallèle à sa base est un rectangle de côtés 3 cm et 3π cm. Son aire vaut

3\times3\pi=9\pi\;\mathrm{cm}^2

.
3. À chaque hauteur comprise entre les deux bases, les sections correspondantes ont donc la même aire.
4. Le principe de Cavalieri donne des volumes égaux :

9\pi\times5=45\pi\;\mathrm{cm}^3

Le contrôle consiste à recalculer séparément aire de base × hauteur pour chaque solide : les deux produits valent exactement 45π cm³. La figure rend visible l'égalité des sections malgré leurs formes différentes.

En pratique

Pour comparer deux solides, on choisit Cavalieri lorsque leurs volumes directs sont difficiles à rapprocher, mais que leurs sections parallèles se calculent simplement. Dans l'exemple, une aire constante de 9π cm² rend la comparaison immédiate.

Pour comparer deux surfaces planes, on considère leurs sections par des droites parallèles. Si les longueurs totales des sections correspondantes coïncident à chaque position entre deux droites communes, les aires coïncident.

Si les sections varient et qu'aucune égalité point par point n'apparaît, le principe ne donne pas directement le volume. Il faut alors calculer autrement plutôt que conclure à partir de quelques coupes.

À ne pas confondre

Égalité des bases. Deux solides peuvent avoir des bases de même aire sans satisfaire Cavalieri. Le critère décisif porte sur toutes les sections parallèles correspondantes, pas seulement sur celles d'altitude 0.

Superposabilité. Deux solides de même volume n'ont pas besoin d'avoir la même forme. Dans l'exemple, la section circulaire du cylindre et la section rectangulaire du prisme ne sont pas superposables, mais leurs aires valent toutes deux 9π cm².

Méthode des indivisibles et principe de Cavalieri. La première fournit l'image historique d'un empilement de tranches infiniment fines ; le second est le critère de comparaison fondé sur l'égalité des sections correspondantes.

Limites et pièges

Une coupe ne suffit pas. Même si les sections coïncident à une hauteur particulière, rien ne garantit l'égalité des volumes. Il faut contrôler toutes les hauteurs entre les deux plans parallèles.

La direction doit rester fixe. Comparer une coupe horizontale d'un solide à une coupe oblique de l'autre ne vérifie pas l'hypothèse. Les plans de coupe doivent tous être parallèles à un même plan fixe et correspondre à la même hauteur.

Les indivisibles demandent de la prudence. Les traiter comme des morceaux ordinaires que l'on additionnerait sans règle rigoureuse engendre les paradoxes signalés dans la source. Paul Guldin y est associé à une application incorrecte concernant le partage d'un triangle par une hauteur.

Une incohérence historique doit être isolée. La source parle d'un « triangle isocèle » tout en supposant inégaux les côtés adjacents à son sommet, conditions incompatibles. Cette formulation ne doit donc pas servir de démonstration ; le garde-fou valable reste la vérification des sections correspondantes.