Liu Hui

Au IIIe siècle de notre ère, Liu Hui travaille sur un traité chinois bien plus ancien, Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique. Le texte rassemble des problèmes de comptabilité, de fiscalité et d'arpentage. Liu Hui ne se contente pas d'en commenter les réponses : il cherche à justifier les procédures.

Son geste caractéristique consiste à découper puis réassembler mentalement des figures pour rendre un raisonnement visible. Il applique cette exigence aux équations, aux volumes et à l'approximation de π. Un autre ouvrage aborde les distances et hauteurs que l'on ne peut pas mesurer directement.

Liu Hui est un mathématicien chinois du IIIe siècle de notre ère, situé vers 220–280. Selon l'ordre chinois des noms, Liu est son nom de famille et Hui son prénom. Son œuvre majeure est un commentaire publié vers 263 sur les Jiuzhang Suanshu, ou Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique. Ce traité est anonyme et sa composition est estimée autour du Ier siècle avant notre ère : Liu Hui en est donc le commentateur, non l'auteur initial.

Ses commentaires accompagnent des problèmes pratiques de comptabilité, de fiscalité et d'arpentage. Ils apportent des justifications rigoureuses, souvent fondées sur des découpages et des réassemblages géométriques, qui s'approchent de démonstrations au sens moderne. Liu Hui traite aussi des systèmes d'équations linéaires et quadratiques. En géométrie plane et spatiale, il calcule des volumes de prismes, de pyramides et de cylindres par des procédés proches de la méthode d'exhaustion. Il obtient pour π la valeur approchée 3,14159.

Un second ouvrage, le Haidao suanjing ou Le manuel mathématique de l'île de la mer, porte sur la mesure de distances et de hauteurs inaccessibles. La méthode y combine de doubles observations et le théorème de Pythagore. Ces deux ouvrages montrent ainsi deux dimensions complémentaires de son travail : justifier des procédures et les appliquer à des mesures concrètes.

Prenons le cas de son commentaire des Neuf Chapitres. Les données documentaires sont un traité anonyme composé autour du Ier siècle avant notre ère, des problèmes pratiques et un commentaire de Liu Hui publié vers 263.

1. Le traité fournit des procédures pour des problèmes de comptabilité, de fiscalité ou d'arpentage.

2. Liu Hui commente ces procédures et cherche à en expliquer la validité, au lieu de s'en tenir au résultat. Le schéma de découpage-réassemblage rend visible ce type de geste géométrique sans reconstituer un problème historique particulier. Pour un micro-exemple volontairement fictif, imaginons que chacune des deux pièces carrées ait 2 unités de côté : son aire vaut 2 × 2 = 4, donc les deux pièces ont une aire totale de 4 + 4 = 8.

3. Juxtaposées, les deux pièces forment un rectangle de 4 unités sur 2, d'aire 4 × 2 = 8. Empilées, elles forment un rectangle de 2 unités sur 4, d'aire 2 × 4 = 8. La relation d'aire est ainsi vérifiée dans les deux dispositions.

4. Le contrôle consiste à vérifier que rien n'a été ajouté, retiré ou déformé lors du réassemblage. C'est cette recherche de justification, appliquée à des domaines variés, qui distingue le commentaire d'une simple liste de recettes.

Pour lire les Neuf Chapitres, il faut distinguer la procédure du traité et la justification ajoutée par Liu Hui. Lorsque la question porte sur le raisonnement, le commentaire est l'objet pertinent ; le seul énoncé du problème ne suffit pas.

Pour suivre ses raisonnements géométriques, on repère les parties découpées puis leur nouvelle disposition. Ce suivi est préférable à une simple comparaison visuelle lorsque l'on veut contrôler qu'un calcul d'aire ou de volume est justifié.

Pour une distance ou une hauteur inaccessible, le Haidao suanjing change de stratégie : il combine deux observations et le théorème de Pythagore. Cette voie convient lorsque la grandeur ne peut pas être mesurée directement.

Liu Hui et l'auteur des Neuf Chapitres. Le traité est anonyme et antérieur de plusieurs siècles ; Liu Hui en publie un commentaire vers 263. Une procédure du texte initial et sa justification dans le commentaire n'ont donc pas la même attribution.

Nom de famille et prénom. Dans l'ordre onomastique chinois employé ici, Liu est le nom de famille et précède le prénom Hui. Inverser cet ordre ferait lire Liu comme un prénom.

Valeur approchée et valeur exacte de π. 3,14159 est une approximation donnée par Liu Hui, non une écriture exacte de π. Le critère est le signe employé : il faut écrire π ≈ 3,14159, jamais π = 3,14159.

Les dates sont approximatives. Les années 220–280 situent Liu Hui et la publication du commentaire est placée vers 263. Il faut conserver « vers » plutôt que transformer ces repères en dates certaines.

La comparaison avec une démonstration moderne a une limite. Les justifications de Liu Hui s'en approchent, d'après la source, mais ne doivent pas être rebaptisées sans nuance. Il faut décrire leurs découpages et réassemblages avant d'établir ce rapprochement.

La méthode d'exhaustion est un rapprochement. La source parle de procédés « proches » de cette méthode pour les volumes. Le symptôme d'un abus serait d'effacer ce qualificatif ; il faut garder la comparaison plutôt qu'affirmer une identité historique.

Cinq décimales ne rendent pas l'approximation exacte. La valeur 3,14159 reste approchée malgré sa précision remarquable pour l'époque. Dans un calcul qui exige davantage de précision, il faut employer une valeur de π adaptée au besoin.

L'article Sources et variété des mathématiques dites chinoises replace ces textes dans une histoire mathématique plus large.

La méthode d'exhaustion précise le procédé auquel sont comparés les calculs de volumes de Liu Hui.

Le théorème de Pythagore approfondit l'outil mobilisé pour les mesures inaccessibles du Haidao suanjing.

La fiche Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) propose une autre voie d'approximation de π, fondée sur une méthode probabiliste.