Zu Chongzhi

En 462, en Chine, Zu Chongzhi proposa un calendrier construit sur un cycle de 391 années, dont 144 comportaient un mois intercalaire. Il avait évalué la durée de l’année tropique avec une erreur inférieure à 50 secondes.

Son nom reste aussi attaché à 355/113, une fraction extraordinairement proche de π : elle vaut environ 3,141592920, contre environ 3,141592654 pour π. Mathématicien, astronome et ingénieur, il travailla enfin avec son fils Zu Gengzhi sur le résultat appelé aujourd’hui principe de Cavalieri.

Zu Chongzhi (429–500) est un mathématicien et astronome chinois des dynasties Song du Sud et Qi du Sud. Issu d’une famille d’astronomes liée à l’élaboration des calendriers, il fut formé notamment à partir des Neuf Chapitres sur l’art du calcul. Il possédait aussi des compétences en ingénierie et en littérature, puis servit un gouverneur local et l’armée.

Ses travaux relient calcul et astronomie. En 462, il proposa un calendrier de 391 années comprenant 144 années à mois intercalaire. Son évaluation de l’année tropique avait une erreur inférieure à 50 secondes, et son système intégrait la précession des équinoxes. Le calendrier ne fut toutefois pas adopté : l’empereur mourut au moment de sa présentation et son successeur le refusa.

En mathématiques, Zu Chongzhi obtint l’approximation $\pi \approx \frac{355}{113}\backslash pi\; \backslash approx\; \backslash frac\{355\}\{113\}$, correcte lorsque les deux nombres sont arrondis à six décimales. Cette fraction figurait dans le Zhui Shu, traité aujourd’hui perdu ; la méthode employée demeure donc inconnue. Le livre est néanmoins cité dans l’Histoire de la dynastie Sui et figure parmi les dix ouvrages du Suanjing shi shu, compilé au VII^e siècle par Li Chunfeng puis réimprimé en 1084. À la fin de sa vie, Zu Chongzhi et son fils Zu Gengzhi formulèrent le résultat désormais nommé principe de Cavalieri.

On veut mesurer la précision de la fraction associée à Zu Chongzhi. Les données sont le numérateur 355, le dénominateur 113 et la valeur de comparaison π ≈ 3,141592653589793.

1. Divisez 355 par 113 : $\frac{355}{113}\approx \mathrm{3,141592920353982}\backslash frac\{355\}\{113\}\; \backslash approx\; 3\{,\}141592920353982$.

2. Soustrayez π à ce quotient : $\frac{355}{113}-\pi \approx \mathrm{0,000000266764189}\backslash frac\{355\}\{113\}-\backslash pi\; \backslash approx\; 0\{,\}000000266764189$. La fraction est donc légèrement supérieure à π.

3. Arrondissez les deux valeurs à six décimales : 355/113 ≈ 3,141593 et π ≈ 3,141593. Elles coïncident à cette précision, sans être égales.

Le contrôle est refaisable en multipliant l’écart par un million : il vaut environ 0,2668 millionième. La droite numérique agrandie rend cet écart visible sans changer son ordre de grandeur.

Pour un calcul numérique court, 355/113 donne rapidement plusieurs décimales fiables de π. Si une valeur exacte est requise, il faut conserver π : la fraction reste une approximation, même si les arrondis à six décimales coïncident.

Pour lire l’histoire d’un résultat, séparez le calcul de sa transmission. L’approximation est attribuée à Zu Chongzhi, mais son Zhui Shu est perdu et la méthode de calcul n’est pas connue. Les mentions ultérieures attestent le traité sans restituer sa démonstration.

Pour étudier son astronomie, distinguez aussi la qualité d’un modèle de son adoption politique. Le calendrier proposé en 462 reposait sur des calculs précis, mais le successeur de l’empereur refusa de l’adopter.

π et 355/113. π est le nombre de référence, tandis que 355/113 est une fraction qui l’approche. Le test décisif consiste à soustraire les deux valeurs : l’écart est d’environ 0,0000002668, donc elles ne sont pas égales.

Zu Chongzhi et Bonaventura Cavalieri. Le nom moderne « principe de Cavalieri » ne signifie pas que le résultat est apparu pour la première fois au XVII^e siècle. La source attribue à Zu Chongzhi et Zu Gengzhi une formulation antérieure à l’énoncé européen de Cavalieri.

Une approximation n’est pas une identité. L’écriture 355/113 = π est fausse. Les deux valeurs donnent 3,141593 après arrondi à six décimales, mais leur écart non nul apparaît dès que l’on augmente la précision.

La méthode ne peut pas être reconstituée à partir du seul résultat. Le Zhui Shu est perdu et la source précise que la méthode ayant conduit à 355/113 demeure inconnue. Il faut donc présenter le quotient vérifiable sans lui attribuer une procédure non documentée.

Précision et adoption sont deux questions différentes. Une erreur inférieure à 50 secondes sur l’année tropique ne prouve pas que le calendrier fut appliqué. Celui de Zu Chongzhi fut refusé après la mort de l’empereur.

Une appellation tardive peut masquer une chronologie plus ancienne. Pour le principe de Cavalieri, il faut distinguer le nom aujourd’hui employé de la formulation attribuée auparavant à Zu Chongzhi et Zu Gengzhi.

Le glossaire Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente une autre manière d’approcher π et aide à comparer deux démarches numériques.

La fiche principe de Cavalieri approfondit le résultat géométrique auquel les travaux de Zu Chongzhi et Zu Gengzhi sont rattachés.

La fiche calendrier replace le cycle proposé en 462 dans la logique mathématique d’organisation du temps.