Histoire et cultureNotion · Glossaire
approximation de Métius
L'approximation de Métius désigne la fraction 355/113 utilisée comme valeur approchée de π. Cette approximation, d'une précision remarquable (elle coïncide avec π jusqu'au sixième chiffre décimal : 3,14159265…), était connue en Chine dès le Ve siècle après J.-C., notamment grâce aux travaux de Zu Chongzhi. Elle fut redécouverte en Occident au XVIIe siècle par le mathématicien hollandais Adriaan Metius. L'erreur absolue |355/113 − π| vaut environ 0,0000002668.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier 355/113 comme l'approximation de Métius.
- Vérifier par la division les six décimales communes avec π.
- Repérer la divergence à la septième décimale.
- Distinguer l'antériorité chinoise de la redécouverte occidentale.
En clair
Prenez 355 et divisez-le par 113 : la calculatrice affiche 3,141592920… Ce nombre commence comme π, dont l'écriture débute par 3,14159265… Les six premiers chiffres après la virgule sont identiques. Une fraction de nombres entiers donne donc ici une valeur étonnamment proche de π.
Cette fraction était connue en Chine dès le Ve siècle après J.-C., notamment par les travaux de Zu Chongzhi. Adriaan Metius l'a redécouverte en Occident au XVIIe siècle, d'où son nom occidental.
Définition
L'approximation de Métius est la fraction 355/113 employée à la place du nombre π lorsqu'une valeur rationnelle très précise est suffisante. Le numérateur est 355 et le dénominateur est 113. Leur quotient vaut approximativement 3,141592920…, tandis que l'écriture donnée de π commence par 3,14159265… Les deux écritures ont donc les six premiers chiffres après la virgule en commun, mais elles ne représentent pas le même nombre.
Un approximant rationnel est une fraction de nombres entiers choisie pour approcher un nombre. Pour 355/113, l'erreur absolue |355/113 − π| vaut environ 0,0000002668, ce qui explique sa grande précision malgré son dénominateur 113. Cette qualité ne transforme toutefois pas l'approximation en égalité exacte.
L'histoire du résultat a deux repères distincts. La fraction était connue en Chine dès le Ve siècle après J.-C., notamment grâce à Zu Chongzhi. Elle a été redécouverte en Occident au XVIIe siècle par le mathématicien hollandais Adriaan Metius.
Un exemple, pas à pas
On veut vérifier directement la précision annoncée. Les données sont le numérateur 355, le dénominateur 113 et le début de l'écriture décimale de π donné par la source : 3,14159265…
1. Effectuez la division : .
2. Alignez les deux débuts décimaux : 3,141592920… pour la fraction et 3,14159265… pour π.
3. Lisez les chiffres après la virgule. Les six premiers sont 1, 4, 1, 5, 9 et 2 dans les deux écritures. Au septième rang, la fraction donne 9 tandis que π donne 6.
Le résultat confirme donc six décimales communes. Pour contrôler la division, multipliez son arrondi à huit décimales par 113 : 3,14159292 × 113 ≈ 354,99999996, valeur très proche de 355. Le schéma d'alignement met en évidence le premier chiffre qui diffère.
En pratique
Pour effectuer un calcul approché avec π en ne manipulant que des nombres entiers, remplacez π par 355/113, puis conservez le résultat comme une approximation. Ce choix peut convenir à condition que l'erreur introduite, sa propagation dans les opérations et l'arrondi final restent compatibles avec la précision recherchée.
Si le résultat doit distinguer la septième décimale, 355/113 ne suffit plus : son chiffre 9 diffère du chiffre 6 de π à ce rang. Il faut alors employer une valeur de π comportant davantage de chiffres adaptés au calcul.
Pour vérifier rapidement une saisie, calculez d'abord 355 ÷ 113. Si l'affichage ne commence pas par 3,141592, le numérateur, le dénominateur ou l'opération a été mal saisi.
À ne pas confondre
Avec π lui-même. La fraction 355/113 est une valeur approchée, pas une autre écriture exacte de π. Le test décimal tranche : les six premières décimales coïncident, puis les septièmes chiffres diffèrent.
Avec une simple troncature décimale. 3,141592 arrête l'écriture après six décimales, tandis que 355/113 est une fraction exacte dont la division produit 3,141592920… Les deux objets peuvent afficher le même début sans être interchangeables comme écritures exactes.
Avec une attribution de première découverte à Métius. Le nom occidental ne suffit pas à fixer la priorité historique. Le critère est la chronologie donnée : la fraction était connue en Chine au Ve siècle, puis redécouverte par Adriaan Metius au XVIIe siècle.
Limites et pièges
Précision dépassée. L'accord s'arrête après six chiffres décimaux : au septième, 355/113 donne 9 et π donne 6. Si ce rang influence le résultat attendu, il faut conserver une valeur plus précise de π.
Égalité abusive. Écrire 355/113 = π efface l'écart que révèle la division. Le signe exact convient à la fraction et à son quotient ; entre ce quotient et π, il faut employer ≈ ou préciser qu'il s'agit d'une valeur approchée.
« Meilleur » sans critère. Cette qualification n'a de sens qu'après avoir fixé une mesure de l'erreur — par exemple l'erreur absolue |p/q − π| — et une borne sur le dénominateur q. Sans ces deux précisions, il vaut mieux parler simplement d'une approximation très précise.
Pour aller plus loin
Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente une autre manière d'approcher π et permet de comparer une méthode probabiliste à la fraction fixe 355/113.
Fraction continue ouvre sur une représentation des nombres qui aide à étudier systématiquement des approximations rationnelles.
La théorie de l’approximation replace la recherche d'une valeur proche dans un cadre mathématique plus large.
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