Haros Charles

En 1802, une conversion de mesures peut obliger à remplacer un nombre décimal par une fraction ordinaire maniable. Charles Haros répond à ce besoin dans une table destinée au passage au système métrique décimal.

Son geste consiste à ranger des fractions irréductibles, puis à en fabriquer une nouvelle entre deux fractions connues. On additionne les deux numérateurs entre eux et les deux dénominateurs entre eux. Après avoir comparé cette « fraction médiante » à la valeur cherchée, on remplace par elle la borne située du même côté : l’encadrement se resserre progressivement.

Charles Haros est un mathématicien et géomètre français actif à la charnière des XVIII^e et XIX^e siècles. Au Bureau du Cadastre, chargé de la cartographie et du cadastrage du territoire français en vue de l’impôt, il travaille dans le contexte du passage au système métrique décimal. Ses travaux facilitent les conversions rendues nécessaires par ce changement.

Dans sa table de conversion de 1802, Haros dresse, par ordre croissant, la liste des fractions irréductibles dont le dénominateur est inférieur à 100. Il utilise aussi un algorithme pour approcher une fraction décimale par une fraction ordinaire aussi simple que possible.

Pour deux fractions dont les numérateurs sont notés a et c, et les dénominateurs non nuls b et d, la règle des nombres moyens attribuée à Nicolas Chuquet forme leur médiante : $\frac{a}{b}\oplus \frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\backslash frac\{a\}\{b\}\; \backslash mathbin\{\backslash oplus\}\; \backslash frac\{c\}\{d\}=\backslash frac\{a+c\}\{b+d\}$. Cette construction est étroitement apparentée aux suites de Farey et à la suite de Stern-Brocot. Les propriétés arithmétiques de telles suites de fractions ont également été étudiées en lien avec les travaux de Lucas.

On cherche une fraction simple proche de 0,38, en imposant pour cet exemple un dénominateur inférieur à 10. Les données sont la cible 0,38 et les bornes initiales 0/1 et 1/1.

1. La médiante de 0/1 et 1/1 est 1/2. Comme 1/2 = 0,5 est supérieur à 0,38, la nouvelle borne supérieure est 1/2.
2. La médiante de 0/1 et 1/2 est 1/3. Comme 1/3 ≈ 0,333 est inférieur à 0,38, la nouvelle borne inférieure est 1/3.
3. La médiante de 1/3 et 1/2 est 2/5. Comme 2/5 = 0,4 est supérieur à 0,38, on garde 2/5 comme borne supérieure.
4. La médiante de 1/3 et 2/5 est 3/8. Elle vaut exactement 0,375.
5. La médiante suivante de 3/8 et 2/5 serait 5/13. Son dénominateur dépasse la borne autorisée, donc la procédure s’arrête.

La procédure retient 3/8, avec un écart de 0,38 − 0,375 = 0,005. Un contrôle refaisable consiste à comparer les écarts des deux dernières bornes : 0,4 − 0,38 = 0,02, donc 3/8 est bien la plus proche des deux. La représentation associée rend visible ce dernier encadrement sans remplacer le calcul.

Pour lire le travail de Haros, on peut refaire une petite table de fractions irréductibles et les ranger par valeur. Si l’objectif est seulement d’obtenir beaucoup de décimales, le calcul décimal direct est préférable ; la table devient utile lorsque la simplicité du dénominateur compte.

Dans une conversion de mesures, la méthode transforme une valeur décimale en fraction ordinaire commode. On fixe d’abord une borne sur le dénominateur, puis on compare les médiantes à la valeur cible. Sans cette borne, le mot « simple » ne fournit pas de critère d’arrêt.

Pour étudier l’arithmétique des fractions, on suit plutôt l’ordre des termes et les relations entre fractions voisines. La suite de Farey ou la suite de Stern-Brocot devient alors un cadre plus explicite que la seule table historique de conversion.

Médiante et moyenne arithmétique. Entre 1/3 et 1/2, la médiante vaut (1 + 1)/(3 + 2) = 2/5, tandis que la moyenne arithmétique vaut 5/12. Le critère est donc l’opération effectuée : addition séparée des numérateurs et des dénominateurs pour la médiante.

Table de Haros et suite de Farey. Haros construit en 1802 une table de conversion avec des dénominateurs inférieurs à 100. Une suite de Farey est la notion arithmétique voisine à employer lorsque l’on étudie systématiquement, par ordre croissant, les fractions réduites de [0,1] dont le dénominateur est inférieur ou égal à un entier n.

Fraction décimale et écriture décimale. La valeur 38/100 est une fraction décimale, car son dénominateur est une puissance de 10 ; 0,38 est son écriture décimale. La fraction ordinaire 3/8 en donne ici une approximation, non une égalité.

La borne est stricte. Dans la table décrite par la source, « inférieur à 100 » exclut le dénominateur 100. Lire « inférieur ou égal » ferait entrer des fractions qui ne répondent pas au critère annoncé.

La simplicité doit être définie. Une fraction peut être jugée simple par un petit dénominateur, tandis qu’un autre objectif privilégie l’erreur minimale. Il faut annoncer la borne et le critère de comparaison avant de choisir une approximation.

Une médiante n’est pas toujours irréductible. Par exemple, la médiante de 1/3 et 3/5 est 4/8, qui se réduit à 1/2. Il faut donc réduire le résultat ou vérifier les conditions particulières imposées aux fractions voisines.

L’attribution reste précise. Le procédé est utilisé par Haros dans son travail de 1802, mais la règle des nombres moyens est attribuée à Nicolas Chuquet. Employer la médiante ne suffit donc pas à attribuer son invention à Haros.

La suite de Farey prolonge naturellement cette lecture : elle range par ordre croissant les fractions irréductibles de [0,1] dont le dénominateur est inférieur ou égal à un entier n, et éclaire leurs relations de voisinage.

La suite de Stern-Brocot offre un autre prolongement conceptuel. Comme les suites de Farey, elle permet d’étudier les propriétés arithmétiques des fractions construites à l’aide de médiantes.