Farey John

Le nom de John Farey est surtout retenu pour une manière ordonnée de regarder des fractions entre 0 et 1. On choisit une limite pour les dénominateurs, on ne garde que les fractions qui ne peuvent pas être simplifiées, puis on les range de la plus petite à la plus grande.

Par exemple, avec la limite 5 et en se restreignant à [0, 1[, on trouve notamment 0/1, 1/5, 1/3 et 1/2. La suite standard complète ajouterait 1/1. La liste ne contient pas 2/4, car cette fraction représente le même nombre que 1/2 et n'est donc pas irréductible.

Dans la convention standard, une suite de Farey de rang n est la suite ordonnée de toutes les fractions irréductibles a/b de l'intervalle [0, 1], dont le dénominateur b est inférieur ou égal à n. Une fraction irréductible ne peut plus être simplifiée, comme 1/2 plutôt que 2/4. Ici, on en considère la restriction à [0, 1[, c'est-à-dire les nombres de 0 inclus à 1 exclu ; 1/1 n'y figure donc pas. Le rang n est une borne sur les dénominateurs, et non sur les numérateurs. L'écriture a/b désigne une fraction de numérateur a et de dénominateur b, avec b positif.

Pour le rang 5, la restriction à [0, 1[ est 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4 et 4/5 ; la suite standard complète ajoute 1/1. La fraction 2/4 est écartée parce qu'elle se réduit à 1/2. La partie comprise entre deux entiers consécutifs se déduit de celle comprise entre 0 et 1 par translation de l'entier considéré.

Une propriété arithmétique remarquable concerne deux termes consécutifs. Si ces termes sont a/b et a′/b′, alors la valeur absolue de ab′ − ba′ vaut 1. Cette relation explique pourquoi des fractions voisines dans la liste entretiennent un lien particulièrement simple entre leurs numérateurs et leurs dénominateurs.

Construisons la restriction à [0, 1[ de la suite de Farey de rang 5. La borne sur le dénominateur vaut donc n = 5. On examine les fractions dont le dénominateur est au plus 5, puis on supprime celles qui ne sont pas irréductibles.

1. Le dénominateur 1 fournit 0/1. Les dénominateurs 2, 3, 4 et 5 fournissent respectivement 1/2 ; 1/3 et 2/3 ; 1/4 et 3/4 ; 1/5, 2/5, 3/5 et 4/5. Les fractions sont toutes situées entre 0 inclus et 1 exclu ; dans la suite standard complète, on ajouterait 1/1.
2. La fraction 2/4 n'est pas ajoutée, car elle n'est pas irréductible et fait doublon avec 1/2.
3. En classant les valeurs, on obtient 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4 et 4/5.

Vérifions la propriété sur les deux termes consécutifs 1/3 et 2/5. En prenant a = 1, b = 3, a′ = 2 et b′ = 5, on obtient ab′ − ba′ = 1 × 5 − 3 × 2 = −1 ; sa valeur absolue vaut donc 1.

Pour utiliser la restriction d'une suite de Farey à [0, 1[, on commence par fixer son rang n. Cette décision fixe le plus grand dénominateur autorisé. On énumère ensuite les fractions de l'intervalle [0, 1[, on réduit chaque fraction lorsque c'est possible et on classe les fractions restantes par ordre croissant ; la suite standard complète inclut aussi 1/1.

La restriction de rang 5 fournit une vérification concrète : 1/3 précède 2/5 parce que 1/3 est inférieur à 2/5, et ces deux fractions satisfont |1 × 5 − 3 × 2| = 1. Cette égalité permet de contrôler un calcul ou une transcription sans se fier seulement à une comparaison décimale.

Une suite de Farey et une liste de fractions quelconques. La suite impose simultanément des fractions irréductibles, un intervalle et une borne sur les dénominateurs. Dans la restriction à [0, 1[ retenue ici, une liste qui contient 2/4 ou une fraction supérieure ou égale à 1 ne respecte pas cette convention.

Le rang et le nombre de termes. Le rang 5 signifie que les dénominateurs ne dépassent pas 5 ; il ne signifie pas que la suite contient 5 fractions. Dans l'intervalle [0, 1[, la restriction de rang 5 contient 10 termes ; la suite standard complète en contient 11 avec 1/1.

L'intervalle est une convention importante. La suite de Farey standard est définie sur [0, 1], mais la restriction décrite ici utilise [0, 1[ : 0 est inclus et 1 est exclu. La fraction 1/1 n'appartient donc pas à cette liste. Pour une partie située entre deux entiers consécutifs, on peut transposer la partie entre 0 et 1 par translation de l'entier choisi.

La borne porte sur le dénominateur réduit. Une fraction comme 2/4 présente un dénominateur apparent égal à 4, mais sa forme irréductible est 1/2. Elle ne constitue donc pas un terme supplémentaire de la suite de rang 5.

Les termes consécutifs ne sont pas simplement les fractions ayant des dénominateurs voisins. Dans la suite de rang 5, 1/3 et 2/5 sont consécutifs, alors que leurs dénominateurs valent 3 et 5. La propriété |ab′ − ba′| = 1 concerne leur voisinage dans l'ordre de la suite, pas une différence fixe entre les dénominateurs.

Une confusion historique reste possible. John Farey publie en 1816 une conjecture sur ces suites, tandis que Cauchy leur donne le nom de suites de Farey. L'attribution du nom ne signifie donc pas que Farey a développé seul toutes les propriétés étudiées ultérieurement.

La fiche suite de Farey développe la construction, le nombre de termes et la propriété des fractions consécutives.

La fiche cercle de Ford présente le lien géométrique entre fractions irréductibles, tangence de cercles et voisinage dans les suites de Farey.

La fiche Haros Charles replace les suites de fractions classées dans l'histoire des tables de conversion et des fractions médiantes.