formule de Machin

Pour approcher π, on peut additionner les termes d’une série. Le choix des nombres change alors tout : avec 1, les termes diminuent lentement, tandis qu’avec 1/5 et 1/239 ils deviennent très vite minuscules.

La formule de Machin combine précisément deux arctangentes calculées avec ces petites fractions. Après quelques additions et soustractions, elle fournit déjà plusieurs décimales de π.

La formule de Machin est une identité exacte reliant π à deux valeurs de la fonction arctangente. L’arctangente d’un nombre réel x est ici l’angle compris entre −π/2 et π/2 dont la tangente vaut x. L’identité s’écrit :

Pour le calcul numérique, on numérote les termes par l’entier k, à partir de 0. Chaque arctangente est alors développée avec la série alternée $\arctan x={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\backslash arctan\; x=\backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}(-1)^k\backslash frac\{x^\{2k+1\}\}\{2k+1\}$, valable pour les nombres réels x tels que |x| ≤ 1, avec convergence conditionnelle aux extrémités. Les arguments 1/5 et 1/239 rendent les puissances rapidement petites. Établie en 1706 par John Machin et employée par lui pour calculer 100 décimales de π, cette identité a donné son nom aux formules « Machin-like », qui expriment π/4 par des sommes pondérées d’arctangentes d’inverses d’entiers. Certaines variantes sont plus efficaces pour les calculs modernes.

On prend les arctangentes principales des deux nombres rationnels positifs 1/5 et 1/239. Leur combinaison pondérée vérifie exactement :

En multipliant le résultat par 4, on obtient π. Le schéma matérialise les deux contributions et leur différence ; il ne remplace pas le calcul des arctangentes.

L’identité utilise la branche principale réelle de l’arctangente, qui associe à chaque réel un angle strictement compris entre −π/2 et π/2. Les fractions 1/5 et 1/239 sont exactes, et non des valeurs décimales arrondies. Pour calculer les arctangentes par leur série, il faut additionner les puissances dans l’ordre et fixer une précision d’arrêt. Comme les termes alternent et décroissent ici en valeur absolue, le premier terme omis borne l’erreur de chaque somme.

Avec x = 1, la même série converge encore vers π/4, mais si lentement qu’elle convient mal au calcul de nombreuses décimales. Pour |x| > 1, cette série centrée en zéro ne converge pas : il faut d’abord transformer l’argument ou employer une autre méthode.

On cherche une approximation de π avec cinq termes pour l’arctangente de 1/5 et deux termes pour celle de 1/239. Les données sont donc x = 1/5, y = 1/239 et la série alternée de l’arctangente.

1. Pour x = 1/5, on conserve les puissances de x jusqu’à x⁹ :
$A=\frac{1}{5}-\frac{1}{3\cdot 5^3}+\frac{1}{5\cdot 5^5}-\frac{1}{7\cdot 5^7}+\frac{1}{9\cdot 5^9}\approx \mathrm{0,19739556165079364}A=\backslash frac15-\backslash frac\{1\}\{3\backslash cdot5^3\}+\backslash frac\{1\}\{5\backslash cdot5^5\}-\backslash frac\{1\}\{7\backslash cdot5^7\}+\backslash frac\{1\}\{9\backslash cdot5^9\}\backslash approx0\{,\}19739556165079364$

2. Pour y = 1/239, les deux premiers termes suffisent dans cet exemple :
$B=\frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot {239}^3}\approx \mathrm{0,004184076001818254}B=\backslash frac\{1\}\{239\}-\backslash frac\{1\}\{3\backslash cdot239^3\}\backslash approx0\{,\}004184076001818254$

3. On injecte ces deux approximations dans l’identité :
$4(4A-B)\approx \mathrm{3,141592682405425}4(4A-B)\backslash approx3\{,\}141592682405425$

Ainsi, π ≈ 3,14159268 à huit décimales affichées. Le contrôle consiste à comparer avec π ≈ 3,14159265 : l’écart est d’environ 2,88 × 10⁻⁸. La borne par les premiers termes omis confirme que cet ordre de grandeur est cohérent.

Pour un calcul à la main, on choisit d’abord le nombre de décimales visé. On additionne ensuite les termes des deux séries jusqu’à ce que les premiers termes omis garantissent une erreur assez petite.

Dans un programme, l’arithmétique multiprécision évite que les arrondis ordinaires effacent les derniers chiffres recherchés. Une formule Machin-like plus efficace est préférable si elle atteint la même précision avec moins de termes ou des arguments encore plus petits.

Pour expliquer la convergence, on compare les tailles successives des termes. Avec 1/5, chaque nouvelle puissance apporte approximativement un facteur 1/25, alors qu’avec 1 les dénominateurs seuls font décroître les termes.

La formule de Machin ne se confond pas avec la série de Leibniz. Celle-ci calcule directement π/4 avec 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … ; la formule de Machin combine deux séries d’arctangente évaluées en 1/5 et 1/239. Le critère qui tranche est l’argument : 1 pour Leibniz, deux petites fractions pour Machin.

Une formule Machin-like n’est pas nécessairement la formule historique de Machin. Si les coefficients ou les inverses d’entiers diffèrent de 4, 1/5 et −1, 1/239, il s’agit d’une variante de la même famille.

Une troncature de série donne une approximation, jamais l’identité exacte. Le symptôme est un résultat qui varie quand on ajoute un terme. Il faut employer le signe ≈ et contrôler l’erreur avec le premier terme omis.

La rapidité de convergence ne vient pas de l’alternance seule. À x = 1, les termes alternent mais leurs valeurs absolues sont seulement les inverses des entiers impairs successifs ; avec x = 1/5, les puissances successives ajoutent un facteur 1/25.

Une calculatrice travaillant avec trop peu de chiffres peut produire une troncature théoriquement fine mais numériquement dégradée. Il faut conserver des chiffres de garde, puis arrondir une seule fois à la précision finale.

L’écriture arctan peut changer de branche dans un cadre complexe ou multivalué. L’identité présentée ici concerne les valeurs réelles principales ; appliquer une autre convention exige de vérifier les multiples de π ajoutés.

Le développement en série de Taylor replace la série de l’arctangente dans la méthode générale d’approximation locale des fonctions.

L’article Mnémotechnique pour le nombre π propose une autre manière d’aborder les décimales de π, cette fois par leur mémorisation.