série de Leibniz

Écrivons 1, retirons un tiers, ajoutons un cinquième, puis retirons un septième. Les dénominateurs parcourent les nombres impairs tandis que les signes alternent. La somme passe ainsi d’un côté à l’autre d’une valeur cible en s’en rapprochant peu à peu.

Cette valeur cible est π/4. Multiplier une somme partielle par 4 donne donc une approximation de π, mais l’amélioration est lente car chaque nouveau terme ne réduit que progressivement l’erreur.

La série de Leibniz est la série numérique obtenue en évaluant en 1 le développement en série entière de la fonction arctangente. Pour un entier naturel n, son terme d’indice n a pour valeur $\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\backslash frac\{(-1)^n\}\{2n+1\}$. Sa somme s’écrit :

Les valeurs absolues des termes sont positives, décroissent lorsque l’indice augmente et tendent vers zéro. Avec l’alternance des signes, ces trois propriétés permettent d’appliquer le critère de Leibniz et assurent la convergence. La limite des sommes partielles est π/4 ; leur quadruple tend donc vers π. Cette convergence demeure très lente, ce qui rend la représentation importante pour comprendre les séries alternées, mais peu efficace pour calculer π avec une grande précision.

La série repose sur cinq éléments liés. L’indice entier n commence à 0. Le dénominateur 2n + 1 produit successivement les entiers impairs 1, 3, 5, 7… Le facteur (−1)ⁿ impose le signe positif aux indices pairs et le signe négatif aux indices impairs. Chaque terme dépend donc du même indice pour sa taille et son signe.

Une somme partielle s’obtient en arrêtant l’addition à un indice donné. Quand cet indice grandit, les termes diminuent et les sommes partielles alternent autour de π/4 en s’en rapprochant. Leur limite définit la somme de la série ; la multiplication par 4 transforme alors cette limite en π. La figure rend visible ce rapprochement alterné sur les cinq premières sommes.

Prenons les cinq premiers termes, de l’indice 0 à l’indice 4 : 1, −1/3, +1/5, −1/7 et +1/9. Nous cherchons d’abord une somme partielle de π/4, puis une approximation de π.

1. Additionnons les cinq termes :

2. La valeur décimale de cette somme partielle est $S_4\approx \mathrm{0,8349206}S\_4\backslash approx0\{,\}8349206$.

3. Multiplions par 4 : $4S_4=\frac{1052}{315}\approx \mathrm{3,339683}4S\_4=\backslash frac\{1052\}\{315\}\backslash approx3\{,\}339683$. C’est une approximation de π, encore assez éloignée malgré cinq termes.

4. Le terme suivant vaut −1/11. Le critère des séries alternées borne l’erreur sur π/4 par 1/11, donc l’erreur sur l’approximation de π par 4/11, soit environ 0,364. L’écart observé reste bien inférieur à ce contrôle.

Pour reconnaître la série, on vérifie ensemble trois marqueurs : les termes sont les inverses des dénominateurs impairs successifs, les signes alternent et le premier terme est égal à 1. Un seul de ces marqueurs ne suffit pas à l’identifier.

Pour justifier sa convergence, on contrôle que les nombres 1/(2n + 1) sont positifs, décroissants et tendent vers zéro. Si l’une de ces conditions manque, le critère de Leibniz ne permet pas de conclure et il faut employer un autre argument.

Pour obtenir une approximation élémentaire de π, on calcule une somme partielle puis on la multiplie par 4. Si une forte précision est recherchée, la lenteur observable de l’amélioration conduit à préférer une méthode de calcul plus rapide.

La série de Leibniz et le critère de Leibniz. La première est la somme particulière 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … ; le second est un test applicable à des séries alternées dont les termes positifs décroissent vers zéro. Ici, le critère prouve la convergence de la série.

La série et une somme partielle. La série désigne le processus infini et sa somme limite π/4. Une somme partielle s’arrête après un nombre fini de termes : avec cinq termes, elle vaut exactement 263/315, et non π/4.

Le développement de l’arctangente et son évaluation en 1. La série de Leibniz est précisément le cas obtenu lorsque l’argument de la fonction arctangente vaut 1. Le résultat π/4 caractérise cette évaluation particulière.

L’alternance ne suffit pas. Voir des signes + et − successifs ne garantit pas à lui seul la convergence. Il faut aussi contrôler que les valeurs absolues des termes décroissent et tendent vers zéro ; sinon, le critère de Leibniz est inapplicable.

Une somme finie n’est jamais la valeur limite. Après cinq termes, 4S₄ ≈ 3,339683 est seulement une approximation de π. Le signe du prochain terme indique le sens de la correction, et sa valeur absolue fournit une borne de l’erreur pour π/4.

La convergence est très lente. Même après cinq termes, la borne d’erreur sur l’approximation de π vaut encore 4/11, soit environ 0,364. Accumuler directement les termes devient donc peu pratique lorsqu’on demande beaucoup de précision ; il faut alors choisir une représentation ou une méthode plus rapide.

Série alternée — Pour replacer le changement de signe et le critère de convergence dans leur cadre général.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) — Pour comparer la série de Leibniz à une autre manière d’approcher π.

Heurs et malheurs de la somme d’une série — Pour prolonger la réflexion sur le sens donné à la somme d’une série.