Pour une série convergente, la notion de somme n’a jamais fait débat. Comme rappelé dans l’article précédent, en partant d’une suite de réels (un)n ≥ 0 et en notant (Sn)n ≥ 0, la suite des sommes partielles associée, où Sn = u0 + u1 + u2 +… + un, on dit que la série Σ un converge si la suite (Sn)n ≥ 0 converge vers une limite S, que l’on appelle la somme de la série.
En revanche, dès les premières études de séries, certains savants ont cherché à attribuer une somme à des séries non convergentes, en introduisant des définitions qui généralisent les propriétés des séries convergentes. Par exemple, trouver une somme à la série de Grandi, Σ (‒1)n, bien évidemment divergente, a été un objet de discussion ; Grandi lui-même, tout comme Leibniz et Euler après lui, lui ont attribué la somme 1/2 par différents procédés (voir En Bref « Petite histoire de la série de Grandi »).
