AnalyseObjet mathématique · Glossaire
suite harmonique
La suite harmonique est la suite de terme général uₙ = 1/n, pour tout entier n ≥ 1. La série harmonique associée est la suite des sommes partielles Hₙ = 1 + 1/2 + ⋯ + 1/n, qui diverge vers +∞. Ainsi, même si uₙ tend vers 0, l'accumulation de ces termes ne se stabilise pas : la convergence du terme général vers 0 ne suffit pas à assurer celle d'une série.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer la suite des inverses de la série de leurs sommes partielles.
- Calculer exactement H₈ = 761/280 et contrôler son approximation décimale.
- Expliquer pourquoi des termes qui tendent vers zéro peuvent produire une série divergente.
- Repérer les erreurs d'indice, de borne finie et de confusion avec la série alternée.
- Visualiser un regroupement qui ajoute au moins 1/2 à chaque nouvelle étape.
En clair
Partagez une unité successivement en 1, 2, 3, puis 4 parts égales, et gardez chaque fois une part. Les quantités obtenues, 1, 1/2, 1/3, 1/4, deviennent de plus en plus petites et se rapprochent de zéro.
Additionnez pourtant toutes ces parts au lieu de les regarder séparément. Le total augmente sans jamais se stabiliser. Voilà le paradoxe apparent de la suite harmonique : chaque nouvelle fraction finit par être minuscule, mais l'accumulation des fractions dépasse à la longue toute valeur fixée.
Définition
La suite harmonique est une suite de nombres réels indexée par les entiers n ≥ 1. Son terme d'indice n, noté un, est l'inverse de cet indice : un = 1/n. Tous ses termes sont strictement positifs. Comme le dénominateur augmente avec n, les termes décroissent et leur limite est 0.
La série harmonique désigne l'addition successive de ces termes. Pour chaque entier n ≥ 1, sa somme partielle Hn additionne les n premiers inverses :
Chaque terme ajouté étant positif, la suite des sommes partielles est strictement croissante. Elle n'a cependant aucune limite finie : .
Il faut donc séparer deux limites. Celle des termes un vaut 0, tandis que celle des totaux Hn vaut +∞. La première est une condition nécessaire à la convergence d'une série, mais cet exemple montre qu'elle ne suffit pas. La divergence est très lente : H109 vaut environ 21.
De quoi c'est fait
La construction repose sur quatre éléments. L'indice n est un entier au moins égal à 1. Le terme un est son inverse 1/n. L'indice k sert de compteur lorsqu'on additionne plusieurs termes. Enfin, Hn est la somme partielle arrêtée après le terme 1/n.
L'indice détermine donc le terme, puis la borne n détermine combien de ces termes entrent dans Hn. Passer de Hn à Hn+1 ajoute exactement 1/(n + 1), d'où . Ces données suffisent à produire chaque terme et chaque somme partielle. La taille, la couleur ou le tracé d'une représentation graphique ne définissent ni la suite ni la série.
Un exemple, pas à pas
Calculons la somme partielle H8. Les données sont les huit indices de 1 à 8 et, pour chacun, le terme 1/k. Nous chercherons une valeur exacte, puis une valeur décimale arrondie.
1. Écrivons les huit termes :
2. Prenons 840 comme dénominateur commun :
Chaque numérateur provient de 840 divisé par le dénominateur du terme correspondant.
3. La somme des numérateurs vaut 2 283. Après division du numérateur et du dénominateur par 3, on obtient H8 = 761/280 ≈ 2,717 857.
4. Contrôlons l'ordre de grandeur en regroupant les termes. Les groupes 1/3 + 1/4 et 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 dépassent chacun 1/2. Avec 1 + 1/2, le total dépasse donc 2,5, ce qui est compatible avec 2,717 857. La figure rend ce regroupement vérifiable d'un coup d'œil.
En pratique
Pour calculer une somme partielle, fixez d'abord la borne n, puis additionnez exactement les termes de 1 à n. Un dénominateur commun donne une fraction exacte ; une calculatrice convient si seule une approximation décimale est recherchée.
Pour décider si la série converge, ne vous arrêtez pas au constat que 1/n tend vers 0. Examinez les sommes partielles Hn. Ici, des regroupements de plus en plus longs fournissent sans cesse au moins 1/2 supplémentaire, ce qui impose la divergence.
Pour vérifier un résultat numérique, encadrez plusieurs termes par une fraction simple. Cette méthode est préférable à une longue addition décimale lorsque l'objectif est seulement de prouver que le total franchit un seuil donné.
À ne pas confondre
Suite harmonique et série harmonique. La suite est formée des termes un = 1/n, qui tendent vers 0. La série est étudiée au moyen des totaux Hn, qui divergent vers +∞. À l'indice 8, il faut donc distinguer u8 = 1/8 et H8 = 761/280.
Série harmonique et série harmonique alternée. La première additionne uniquement des inverses positifs. Dans la seconde, les signes alternent : le deuxième terme est −1/2 au lieu de +1/2. Le signe du terme d'indice 2 tranche immédiatement entre les deux séries.
Limites et pièges
Un terme qui tend vers zéro. Le symptôme trompeur est de conclure que la série converge dès que 1/n devient très petit. La suite harmonique fournit précisément le contre-cas : il faut étudier la limite des sommes partielles, pas seulement celle des termes.
Une divergence presque invisible numériquement. Même après 109 termes, la somme vaut seulement environ 21. Une croissance lente n'est pas une convergence ; pour trancher, il faut montrer que Hn finit par dépasser toute borne, quelle qu'elle soit.
Un départ à l'indice zéro. La formule un = 1/n n'est pas définie pour n = 0. Si une écriture commence à zéro, le terme 1/0 signale l'erreur ; il faut commencer à n = 1 ou définir séparément une autre suite.
Une somme finie prise pour la série entière. H8 = 761/280 est une valeur finie exacte, mais elle ne représente pas la somme de tous les termes. Il faut conserver la borne 8 et réserver le passage à l'infini à l'étude de la limite de Hn.
Pour aller plus loin
série harmonique — Approfondir l'étude des sommes partielles et de leur divergence au-delà de la suite de termes 1/n.
Les toujours étonnantes curiosités de la série harmonique — Prolonger la lecture par un article entièrement consacré aux comportements surprenants de cette série.
fonction logarithme népérien — Situer la croissance très lente des sommes harmoniques par rapport à une fonction de référence.
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