convergence d'une série numérique

Imaginez que l'on ajoute successivement 1, puis 1/2, puis 1/4, puis 1/8. Les totaux obtenus sont 1, 3/2, 7/4 et 15/8. Ils augmentent, mais se rapprochent de 2 sans le dépasser.

Une série converge lorsque ces totaux successifs, appelés sommes partielles, s'approchent d'un nombre fini. Ce nombre est la somme de la série. Observer seulement que les nombres ajoutés deviennent petits ne suffit pas : il faut suivre leur total.

Une série numérique est associée à une suite de nombres, dont le terme d'indice n est noté u_n. Pour chaque entier N ≥ 0, sa somme partielle S_N additionne tous les termes depuis l'indice initial 0 jusqu'à N : $S_N={\sum }_{n=0}^N{u}_{n}S\_N=\backslash sum\_\{n=0\}^\{N\}u\_n$. La série converge si la suite des nombres S_N admet une limite finie S lorsque N tend vers l'infini.

Dans ce cas, S est appelée somme de la série et l'on écrit : ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n=S\backslash sum\_\{n=0\}^\{+\backslash infty\}u\_n=S$. Si les sommes partielles n'ont pas de limite finie, la série diverge. Changer un nombre fini de termes, ou choisir un autre indice de départ, ne change pas la convergence, mais peut changer la valeur de la somme.

La convergence impose que u_n tende vers 0, car, pour n ≥ 1, u_n = S_n − S_n−1. La réciproque est fausse : les termes 1/n tendent vers 0, tandis que la série harmonique diverge. Selon la forme des termes, on peut employer une comparaison, le critère de d'Alembert, le critère de Cauchy ou le critère des séries alternées. Chacun exige ses propres hypothèses.

Trois éléments organisent une série numérique. Le terme général u_n fournit le nombre ajouté à l'étape n. Le symbole de somme ∑ indique que ces termes sont additionnés dans l'ordre des indices. L'indice de départ précise le premier terme retenu.

La somme partielle S_N arrête l'addition à un indice fini N. Les différentes valeurs de S_N forment elles-mêmes une suite. C'est cette suite, et non la seule suite des termes u_n, dont on cherche la limite.

Enfin, une limite finie S existe ou non. Son existence détermine la convergence ; sa valeur donne la somme. Les termes et les bornes suffisent donc à construire chaque somme partielle, puis l'étude de leur comportement permet de conclure. Une courbe ou un dessin peut illustrer ce comportement, mais ne fait pas partie de la définition.

On étudie la série dont le terme d'indice n est u_n = 1/2ⁿ, à partir de n = 0. Les données sont donc un premier terme égal à 1 et une raison constante égale à 1/2.

1. Calculons les premiers totaux : S₀ = 1, S₁ = 3/2, S₂ = 7/4 et S₃ = 15/8.

2. Pour un indice final N, la formule de la somme géométrique donne :

3. Lorsque N augmente, le nombre 1/2^N tend vers 0. Les sommes partielles tendent donc vers 2 : la série converge et sa somme vaut exactement 2.

Les points représentant les premiers totaux rendent visible leur rapprochement progressif vers la limite 2. L'écart restant après S_N vaut exactement 1/2^N.

4. Le contrôle pour N = 3 est direct : 2 − 15/8 = 1/8, ce qui coïncide avec 1/2³. La formule, la limite et le reste donnent ainsi le même résultat.

Pour une série à termes positifs, on cherche souvent une série de référence. Si les termes sont majorés par ceux d'une série convergente, la comparaison peut conclure. Une équivalence ou un encadrement précis est préférable lorsqu'une simple majoration ne tranche pas.

Quand des puissances ou des factorielles dominent l'expression, le quotient de deux termes consécutifs suggère le critère de d'Alembert. Une limite du quotient en valeur absolue strictement inférieure à 1 assure la convergence absolue. Si cette limite vaut 1, il faut changer de critère.

Pour des signes alternés, on examine la grandeur positive des termes. Si elle décroît vers 0, le critère des séries alternées donne la convergence. Si la décroissance manque, une étude de convergence absolue ou une autre estimation est nécessaire.

Convergence d'une suite. Elle concerne directement les valeurs u_n. La convergence de la série concerne les sommes S_N. Ainsi, u_n = 1/n tend vers 0, mais la série correspondante diverge.

Convergence absolue. Elle signifie que la série formée avec les valeurs absolues des termes converge. Elle entraîne la convergence ordinaire, mais l'inverse est faux : la série harmonique alternée converge sans converger absolument.

Rayon de convergence. Ce nombre délimite les valeurs d'une variable pour lesquelles une série entière converge. Une série numérique fixée, comme celle de termes 1/2ⁿ, possède un verdict et une somme, mais pas un rayon à calculer.

Des termes qui tendent vers 0. Ce symptôme est nécessaire, jamais suffisant. Les termes 1/n tendent vers 0 alors que leurs sommes partielles croissent sans limite. Il faut appliquer un critère portant sur les sommes ou sur une structure plus forte.

Un quotient limite égal à 1. Le critère de d'Alembert ne tranche pas à ce seuil. Il donne 1 pour les termes 1/n, dont la série diverge, comme pour 1/n², dont la série converge. Une comparaison convient mieux.

Un nombre fini de termes modifiés. La convergence reste inchangée, mais la somme est décalée du total des modifications. Il faut donc conserver l'indice de départ pour annoncer une valeur numérique exacte.

Des compensations entre signes. Une série peut converger sans convergence absolue. Dans ce cas, réordonner arbitrairement les termes n'est pas un geste neutre. Il faut garder l'ordre donné ou prouver la convergence absolue avant de regrouper librement.

La fiche série harmonique montre en détail pourquoi des termes positifs tendant vers 0 peuvent produire une série divergente.

Le critère de d'Alembert approfondit le test fondé sur le quotient de deux termes consécutifs et précise les verdicts possibles.

L'article Les toujours étonnantes curiosités de la série harmonique prolonge le contre-exemple central par ses comportements les plus remarquables.