AnalyseFormule · Glossaire
critère de d'Alembert
Le critère de d'Alembert est un théorème permettant d'étudier la convergence ou la divergence d'une série à termes strictement positifs. Soit (uₙ) une suite de réels strictement positifs. On considère la limite l — lorsqu'elle existe — du rapport uₙ₊₁ / uₙ lorsque n tend vers l'infini. Les conclusions sont les suivantes : si l < 1, la série de terme général uₙ converge ; si l > 1, la série de terme général uₙ diverge ; si l = 1, le critère est non conclusif et il convient alors de recourir à un critère plus fin, tel que la règle de Raabe-Duhamel, qui permet de trancher dans les cas limites.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses nécessaires avant d'appliquer le critère.
- Calculer le rapport de deux termes consécutifs sur une série géométrique.
- Conclure correctement lorsque la limite est inférieure ou supérieure à 1.
- Reconnaître qu'une limite égale à 1 impose un autre critère.
En clair
Regardez les nombres 1, 3/4, 9/16 et 27/64 : chacun vaut les trois quarts du précédent. Ils restent positifs et deviennent rapidement petits. En les additionnant, on obtient une série dont les nouveaux apports rétrécissent toujours selon le même facteur.
Le critère de d'Alembert mesure précisément ce facteur à long terme. Si sa limite est inférieure à 1, la somme se stabilise. Si sa limite dépasse 1, la série diverge. Lorsqu'elle vaut exactement 1, cette seule mesure ne suffit pas pour décider.
Définition
Le critère de d'Alembert, aussi appelé règle de d'Alembert, est un test de convergence pour une série dont les termes sont strictement positifs. On note un le terme de rang n et l la limite, si elle existe, du quotient du terme suivant par le terme courant : . La stricte positivité garantit que ce quotient est défini.
Si l est strictement inférieur à 1, la série converge. Si l est strictement supérieur à 1, elle diverge. Ces deux conclusions viennent du comportement géométrique que le rapport impose à partir d'un rang assez grand. Si l vaut 1, des séries convergentes et divergentes sont toutes deux possibles : le critère ne donne alors aucun verdict. Un outil plus fin, comme la règle de Raabe-Duhamel, peut être recherché.
Le principe
Soit une suite de nombres strictement positifs, dont le terme de rang n est noté un. Si le rapport un+1/un possède une limite l quand n tend vers l'infini, alors cette limite commande le verdict.
Les trois cas sont : , donc la série converge ; , donc elle diverge ; , donc le critère est muet. Les inégalités sont strictes : une limite égale à 1 n'autorise aucune conclusion.
Quand l'utiliser
Le test porte sur la série formée en additionnant les termes un, pas seulement sur la suite de ces termes. Chaque un doit être strictement positif, afin que le quotient un+1/un existe.
Il faut ensuite établir que la suite de quotients possède une limite. Seule la valeur prouvée de cette limite permet de choisir entre l < 1, l > 1 et l = 1 ; quelques quotients numériques ne suffisent pas.
Pour la série de terme un = 1/(n + 1), le rapport tend vers 1 : le calcul aboutit, mais le critère ne tranche pas. Il faut alors employer une comparaison adaptée ou un critère plus fin, tel que Raabe-Duhamel lorsque ses propres hypothèses sont vérifiées.
Un exemple, pas à pas
On considère la série dont l'indice n commence à 0 et dont le terme est . Les données sont donc u0 = 1 et un facteur 3/4 appliqué à chaque nouveau terme.
1. Les premiers termes sont 1, 3/4, 9/16 et 27/64. Leur décroissance régulière rend visible le facteur constant 3/4.
2. On forme le quotient de deux termes consécutifs : .
3. Le quotient étant constant, sa limite l vaut 3/4. Comme 3/4 est strictement inférieur à 1, le critère de d'Alembert affirme que la série converge.
4. Un contrôle indépendant est possible : la somme géométrique vaut . La valeur finie 4 confirme le verdict de convergence.
En pratique
Lorsque les termes contiennent des puissances ou des factorielles, diviser un+1 par un simplifie souvent les facteurs communs. Si le quotient se simplifie nettement, d'Alembert est naturel ; sinon, une comparaison peut être plus directe.
Pour une série géométrique positive, le quotient retrouve directement la raison. Dans l'exemple (3/4)n, la valeur 3/4 donne la convergence ; la formule de somme géométrique fournit ensuite un contrôle exact.
Si la limite vaut 1, il faut s'arrêter sans deviner le verdict. La forme des termes guide alors le choix d'une comparaison, de la règle de Raabe-Duhamel ou d'un autre critère plus discriminant.
À ne pas confondre
Convergence des termes et convergence de la série. Le fait que un tende vers 0 est nécessaire, mais ne garantit pas que leur somme converge. Ainsi, 1/(n + 1) tend vers 0 alors que la série correspondante diverge.
Règle de d'Alembert et règle de Cauchy. La première étudie le quotient un+1/un ; la seconde étudie la racine n-ième de un. Sur un = (3/4)n, les deux donnent 3/4, mais les calculs testés ne sont pas les mêmes.
Limites et pièges
La valeur charnière l = 1. Les termes 1/(n + 1) et 1/(n + 1)2 donnent tous deux un rapport de limite 1, alors que la première série diverge et la seconde converge. Le critère de d'Alembert ne peut donc pas départager ce cas.
Une limite inexistante. Si les quotients oscillent sans tendre vers une valeur, aucune des trois conclusions ne s'applique. Il faut changer de critère ou étudier la série par comparaison, plutôt que choisir un quotient observé.
Des termes nuls ou de signe variable. Un terme nul peut rendre le rapport indéfini, et la stricte positivité exigée par l'énoncé disparaît lorsque les signes changent. Cette version du critère n'est alors pas applicable sans reformulation adaptée.
Une estimation finie n'est pas une limite. Même si plusieurs quotients sont inférieurs à 1, leur limite peut ne pas être établie. Le verdict exige un raisonnement valable quand n tend vers l'infini.
Pour aller plus loin
convergence d'une série numérique : replace le verdict de d'Alembert dans la définition générale d'une somme infinie.
Série géométrique : approfondit le modèle exact utilisé dans l'exemple et le calcul de sa somme.
règle de Raabe-Duhamel : affine certains cas où le rapport de d'Alembert tend vers 1.
série de Riemann : compare des séries convergentes et divergentes que la limite 1 ne sépare pas.
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